[論文レビュー] Global Uniqueness and Solvability for Tensor Complementarity Problems

Xueli Bai, Zheng‐Hai Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、SongとQi（2015）の質問6.3に対して否定的な答えを提供する。2つの反例を構築することで、Pテンソルがテンソル補完問題（TCP）におけるグローバル一意性と可解性（GUS）性質を保証するとは限らないことを示している。これを解決するために、著者らは強Pテンソルという概念を導入し、強Pテンソルを有するTCPがGUS性質を有することを証明するとともに、Pテンソルを有するTCPの解集合が空でなくコンパクトであることを確立している。

ABSTRACT

Recently, the tensor complementarity problem (TCP for short) has been investigated in the literature. An important question involving the property of global uniqueness and solvability (GUS-property) for a class of TCPs was proposed by Song and Qi in their paper "Properties of Some Classes of Structured Tensors". In the present paper, we give an answer to this question by constructing two counter-examples. We also show that the solution set of this class of TCPs is nonempty and compact. In particular, we introduce a class of related structured tensors, and show that the corresponding TCP has the GUS-property.

研究の動機と目的

• SongとQi（2015）の質問6.3を解決すること。すなわち、TCPにおけるGUS性質が、テンソルがPテンソルであることと同値であるかどうかを問う。
• テンソルがPテンソルである場合のTCPの解集合の構造を調査すること。
• Pテンソルよりも広いクラスのテンソルのうち、TCPがGUS性質を有するものを見つけること。
• 強Pテンソルを導入し、TCPにおけるGUS性質の十分条件としての性質を分析すること。

提案手法

• TCPにおけるPテンソルがGUS性質をもたらすという仮説を否定するため、2つの明示的な反例を構築すること。
• 補完系の位相的および代数的議論を用いて、AがPテンソルであるとき、TCP(q, A)の解集合が空でなくコンパクトであることを証明すること。
• テンソル写像の差に厳密な不等式条件を課すことにより強Pテンソルを定義し、非線形補完問題におけるP関数の概念を一般化すること。
• すべての強PテンソルがPテンソルであるが、逆は成り立たないことを示す。具体的には、強P条件を満たさないPテンソルの例を提示すること。
• 強Pテンソルの性質を分析し、厳密な半正定性、Rテンソル性質、正のHおよびZ固有値、正の対角成分を含む。
• 強Pテンソルの任意の主部分テンソルもまた強Pテンソルであることを証明し、構造的一致性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル補完問題（TCP）におけるグローバル一意性と可解性（GUS）性質が、テンソルがPテンソルであることと同値であるかどうか？
• RQ2 テンソルがPテンソルである場合、TCPの解集合について何が言えるか？
• RQ3 Pテンソルよりも広いクラスのテンソルのうち、TCPがGUS性質を有するものはあるか？
• RQ4 強Pテンソルはどのような構造的性質を有するのか。Pテンソルとはどのように関係しているか？

主な発見

• PテンソルがTCPにおけるGUS性質をもたらすという仮説は、2つの反例によって否定された。Pテンソルであっても複数の解を持つ場合がある。
• AがPテンソルであるとき、TCP(q, A)の解集合は空でなくコンパクトである。これは基本的な位相的性質を確立する。
• 強PテンソルのクラスはPテンソルのクラスの真の部分集合である。具体的には、強P条件を満たさないPテンソルの例によって示された。
• すべての強Pテンソルは厳密に半正定的であり、Rテンソルであり、すべてのHおよびZ固有値が正である。
• 強Pテンソルのすべての対角成分は正であり、強Pテンソルの任意の主部分テンソルもまた強Pテンソルである。
• Aが強Pテンソルであるとき、TCP(q, A)はGUS性質を有する。これは一意性と可解性の十分条件を提供する。