[論文レビュー] Global uniqueness for the semilinear fractional Schrödinger equation

Ru-Yu Lai, Yi‐Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分数階半線形シュレーディンガー方程式 $ (-\nabla)^s u + q(x,u) = 0 $ における非線形係数 $ q(x,u) $ の逆問題について、部分的な外部コーシーデータから全球的一意性を確立する。線形化および非局所カルデロン問題の枠組みを用いて、任意の次元 $ n \geq 2 $ において、外部領域の非空な相対開部分集合上でコーシー・データ集合が一致する限り、$ q_1(x,u) = q_2(x,u) $ が $ \Omega $ 内で成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We study global uniqueness in an inverse problem for the fractional semilinear Schrödinger equation $(-Δ)^{s}u+q(x,u)=0$ with $s\in (0,1)$. We show that an unknown function $q(x,u)$ can be uniquely determined by the Cauchy data set. In particular, this result holds for any space dimension greater than or equal to $2$. Moreover, we demonstrate the comparison principle and provide a $L^\infty$ estimate for this nonlocal equation under appropriate regularity assumptions.

研究の動機と目的

• 分数階半線形シュレーディンガー方程式の部分的外部データを用いた全球的一意性逆問題を解明すること。
• 古典的カルデロン問題を、分数ラプラシアン $ (-\nabla)^s $、$ s \in (0,1) $ を含む非局所的かつ非線形な設定へ拡張すること。
• 外部領域におけるディリクレおよび非局所ノイマン・データによって定義されるコーシー・データ集合 $ \mathcal{C}_q^{\Omega_e} $ から、非線形係数 $ q(x,u) $ の一意性を確立すること。
• 線形分数階シュレーディンガー方程式に関する先行の一意性結果を、特定の正則性および単調性条件を満たす一般非線形性を有する半線形ケースへ一般化すること。

提案手法

• 外部ディリクレ・データの小さな摂動に対応する解の周りで、分数階半線形方程式を線形化する。
• パラメータ $ \eta $ に関してコーシー・データを微分し、$ \partial_t q(x,u) $ を含む線形化された非局所方程式が得られる。
• 線形化問題における非局所ノイマン微分 $ \mathcal{N}_q^s u $ とディリクレ・トゥ・ノイマン（DN）写像を用いて係数を比較する。
• 文献[6]における線形分数階シュレーディンガー方程式の全球的一意性結果を適用し、$ \Omega $ 内で $ \partial_t q_1(x,u^{(1)}_g) = \partial_t q_2(x,u^{(2)}_g) $ が成り立つことを結論づける。
• 非局所方程式の適切な定義および最大原理を用いて、線形化解の一意性を確立する。
• 線形化解の同一性を用いて、元の解が $ \mathbb{R}^n $ 内で調和関数 $ \psi $ の差に等しいことを導く。この関数は一意的延長性により $ \psi \equiv 0 $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階半線形シュレーディンガー方程式における非線形係数 $ q(x,u) $ は、部分的な外部コーシー・データから一意に特定可能か？
• RQ2 線形分数階シュレーディンガー方程式における全球的一意性結果は、一般非線形性を有する半線形ケースへ拡張可能か？
• RQ3 $ q(x,u) $ にどのような条件を課すと、線形化係数 $ \partial_t q(x,u) $ がDN写像から回復可能になるか？
• RQ4 非局所的かつ非線形な設定下で、コーシー・データの小さな摂動に対して、逆問題の解は安定か？

主な発見

• 非線形係数 $ q(x,u) $ は、$ \mathcal{C}_q^{\Omega_e} $ として定義されるコーシー・データ集合により、部分的なデータ（非空な相対開部分集合 $ W \subset \partial\Omega_e $）であっても一意に特定可能である。
• 線形化方程式のDN写像を介して、すべての $ g \in C_0^3(W) $ に対して $ \partial_t q_1(x,u^{(1)}_g) = \partial_t q_2(x,u^{(2)}_g) $ が $ \Omega $ 内で成り立つことが証明された。
• 線形化方程式の解は一致する：$ \dot{u}^{(1)}_{g,h} = \dot{u}^{(2)}_{g,h} $ が $ H^s(\mathbb{R}^n) $ 内で成り立ち、元の解がディリクレ・データとは独立な関数 $ \psi $ の差に等しいことを示唆する。
• 解の差から生じる関数 $ \psi $ は、$ W \subset \Omega_e $ において $ \psi = (-\Delta)^s \psi = 0 $ を満たすため、一意的延長性により $ \mathbb{R}^n $ 内で $ \psi \equiv 0 $ である。
• 結果として、$ u^{(1)}_g = u^{(2)}_g $ が $ \mathbb{R}^n $ 内で成り立ち、元の方程式に代入することで、すべての $ x \in \Omega $ に対して $ q_1(x,u) = q_2(x,u) $ が得られる。
• この結果は、$ q(x,t) $ および $ \partial_t q(x,t) $ が連続で、$ t \to 0 $ のとき $ q(x,t)/t \to 0 $ であり、$ \partial_t q \geq 0 $ かつ適切な成長バウンドを満たすという仮定の下、すべての空間次元 $ n \geq 2 $ で成り立つ。