[論文レビュー] Global Upper Expectations for Discrete-Time Stochastic Processes: In Practice, They Are All The Same!

Natan T’Joens, Jasper De Bock|Ghent University Academic Bibliography (Ghent University)|Feb 25, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、離散時間の確率過程における3つの異なるグローバル上期待値モデル—測度論的、ゲーム理論的、公理的—が、2つの広範な領域で一致することを示している：有限のギャンブルの単調極限と、下に有界なボレル可測変数。主な貢献は、実際の応用において、これらのモデルが大多数の現実世界の推論において同一の結果をもたらすため、それらの間で選択する必要がなくなることである。

ABSTRACT

We consider three different types of global uncertainty models for discrete-time stochastic processes: measure-theoretic upper expectations, game-theoretic upper expectations and axiomatic upper expectations. The last two are known to be identical. We show that they coincide with measure-theoretic upper expectations on two distinct domains: monotone pointwise limits of finitary gambles, and bounded below Borel-measurable variables. We argue that these domains cover most practical inferences, and that therefore, in practice, it does not matter which model is used.

研究の動機と目的

• 離散時間の確率過程における3つのグローバル上期待値モデル—測度論的、ゲーム理論的、公理的—の数学的同等性を確立すること。
• これらのモデルが一致する最大のランダム変数の領域を同定し、実用的関連性を保証すること。
• 期待到達時間や時間平均のような、多くの現実世界の推論がカバーされることを示すこと。
• 異なる解釈的枠組みが同一のグローバル上期待値をもたらすことを示し、不確実性確率論の理論的基盤を統合すること。
• トポロジカルな仮定を排除することで、既存の結果の適用範囲を拡大し、過去の研究を越えて有効性の範囲を広げること。

提案手法

• 3つのグローバル上期待値モデルを定義する：測度論的（確率測度上の上包あらわし）、ゲーム理論的（ヘッジ価格の下限）、公理的（上期待値の構造的性質に基づく）。
• 先行研究に基づき、ゲーム理論的および公理的モデルが同一であることを証明し、その後、この共通モデルと測度論的モデルを関係づける。
• 単調収束の議論と超 martingale の性質を用いて、有限ギャンブルの単調極限の領域で同等性を確立する。
• 能動性および可測性の議論を用い、チョケットの能動性定理を活用することで、下に有界なボレル可測変数の領域への同等性を拡張する。
• 上期待値と下期待値の共役性を用いて、両側の推論（同時に上期待値と下期待値）への結果の拡張を行う。
• 付録に厳密な証明を提示し、トポロジカル制約を排除することで、以前の結果を改善し、適用範囲を広げた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間の確率過程における測度論的、ゲーム理論的、公理的グローバル上期待値は、実用的領域のランダム変数において一致するか？
• RQ2 局所モデルに強いトポロジカル条件を課さずに、これらのモデル間の同等性を確立できるか？
• RQ3 同等性の領域は、期待到達時間や時間平均のような多くの実用的推論をカバーするほど十分に広いか？
• RQ4 結果を条件付き上期待値および下期待値に拡張できるか？
• RQ5 提案されたモデルと、有界可測変数に対するダニエル＝ストーン型上期待値との関係は何か？

主な発見

• 測度論的、ゲーム理論的、公理的グローバル上期待値は、有限ギャンブルの単調極限の領域で数学的に同一である。
• 3つのモデルは、下に有界なボレル可測変数の領域でも一致し、同等性の範囲を顕著に拡大する。
• 局所モデルのパrametrizationにトポロジカルな仮定を必要とせず、過去の結果を上回る。
• 共役性を介して、条件付き上期待値および下期待値への拡張が可能であり、同時に上界と下界を推論する状況をカバーする。
• 同等性の領域には、期待到達時間（クラス (a)）や期待時間平均（クラス (b)）といった実用的に重要な変数が含まれており、これらは過去の研究では除外されていた。
• これらの発見により、不確実性確率論における3つの異なるアプローチが統合され、大多数の実用的応用においてモデルの選択が結果に影響しないことが示された。