[論文レビュー] Global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation

Ovidiu Savin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、自然な境界およびドメインの正則性仮定の下で、凸領域上における Monge-Ampère 方程式の解について、全領域における $W^{2,p}$ 評価を確立する。境界付近の断片の局所化定理と Vitali 型被覆論法を活用することで、解が境界上で接平面から二次的に分離しており、右辺 $f$ が小さい対数オシレーショングの条件下で、すべての $p < ∞$ に対して $W^{2,p}$ 界が一様に成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We obtain global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation under natural assumptions on the domain and boundary data.

研究の動機と目的

• 凸領域上における Monge-Ampère 方程式の全領域 $W^{2,p}$ 正則性評価を確立し、内部評価を全ドメインに拡張する。
• ヘッセ行列の全領域 $W^{2,p}$ 可積分性を保証するドメイン境界および境界データに対する鋭い、自然な条件を同定する。
• 解 $u$ が $\partial\Omega$ で接平面から二次的に分離しており、$f$ が小さい対数オシレーショングを示せば、全領域 $W^{2,p}$ 界が成立することを証明する。
• 幾何的局所化と被覆技法を用いて、既知の内部 $W^{2,p}$ 評価を全領域設定に拡張する。

提案手法

• 境界点における断片の局所化定理（定理 1.5）を用い、$u$ の断片が二次的境界成長の下で半楕円体と同値であることを示す。
• スケーリング論法を適用し、変換された方程式 $\det D^2\tilde{u} = \tilde{f}$ を介して、全領域評価をモデル断片上の一様な境界に還元する。
• Vitali 型被覆補題を用い、互いに交わらない断片 $S_{\delta \bar{h}_i}(y_i)$ を選択し、$\Omega \subset \bigcup_i S_{\bar{h}_i/2}(y_i)$ が成り立つようにし、重複を制御する。
• 正規化された断片 $\tilde{S}_1(0)$ におけるスケーリング解 $\tilde{u}$ の内部 $W^{2,p}$ 評価を適用し、ここで $\log \tilde{f}$ が小さいオシレーショングを示す。
• 変換 $\tilde{u}(x) = \frac{1}{\bar{h}} u(y + \bar{h}^{1/2} A^{-1}x)$ を用い、$D^2 u$ を $D^2 \tilde{u}$ と関連づけ、ヘッセ行列の $L^p$ ノルムを制御する。
• 各 $\bar{h}_i \in (c_1 2^{-k-1}, c_1 2^{-k}]$ を満たす dyadic 家族の断片について、$L^p$ 界を合算し、収束する級数を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドメインおよび境界データに最小限の幾何的・正則性仮定を課した場合、方程式 $\det D^2 u = f$ の解 $u$ が全領域で $W^{2,p}(\Omega)$ に属するための条件は何か？
• RQ2 右辺 $f$ が小さい対数オシレーショングを示し、解が境界で接平面から二次的に分離する場合、全領域 $W^{2,p}$ 評価が得られるか？
• RQ3 解 $u$ が $\partial\Omega$ で二次的分離を満たすという条件は、$W^{2,p}$ 正則性にとって最適であるか、それより弱めることが可能か？
• RQ4 境界付近の断片の局所化は、内部正則性評価を全領域 $W^{2,p}$ 評価に拡張するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 境界が $C^{1,1}$、境界データが $C^{1,1}$、かつ $u$ が $\partial\Omega$ で接平面から二次的に分離するという仮定の下で、すべての $p < \infty$ に対して全領域 $W^{2,p}$ 界が成り立つ。
• $W^{2,p}$ 界における定数 $C$ は、$\|\partial\Omega\|_{C^{1,1}}$、$\|u|_{\partial\Omega}\|_{C^{1,1}}$、$\|u\|_{C^{0,1}}$、$\rho$、$\lambda$、$\Lambda$、$p$、$n$ に依存する。
• $f \in C(\overline{\Omega})$ で、$u|_{\partial\Omega}$、$\partial\Omega \in C^3$ かつ $\Omega$ が一様凸であれば、$u \in W^{2,p}(\Omega)$ がすべての $p < \infty$ に対して成り立つ。
• 各断片 $S_{\bar{h}_i/2}(y_i)$ における $D^2 u$ の $L^p$ ノルムは、$C |\log \bar{h}_i|^{2p} \bar{h}_i^{n/2}$ で有界であり、$\bar{h}_i \to 0$ のとき減少する。
• dyadic シェルの断片の和から得られる全 $L^p$ ノルムは収束し、全領域評価が証明される。
• 仮定は最適である：Wang の反例により、$u \in C^{2,1}$ または $\partial\Omega \in C^{2,1}$ が緩和されると、$p$ が大きい場合に $W^{2,p}$ 界が成立しなくなることが示されている。