[論文レビュー] Global Weak Solutions to Non-isothermal Nematic Liquid Crystals in 2D

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、古典的なギンツブルグ＝ランダウ法を避ける新しい近似スキームを用いて、2次元トーラス上での非等温なネマチック液晶系に対して、弱解の全球的存在を確立する。局所エネルギー不等式を用いることで、配向場の2階空間微分の推定を回復し、エネルギー保存則、エネルギー集中を伴う有限個の特異時刻、およびその時刻における急激な温度上昇を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we prove the global existence of weak solutions to the non-isothermal nematic liquid crystal system on $\mathbb T^2$, based on a new approximate system which is different from the classical Ginzburg-Landau approximation. Local energy inequalities are employed to recover the estimates on the second order spacial derivatives of the director fields locally in time, which cannot be derived from the basic energy balance. It is shown that these weak solutions conserve the total energy and while the kinetic and potential energies transfer to the heat energy precisely. Furthermore, it is also established that these weak solutions have at most finite many singular times at which the energy concentration occurs, and as a result, the temperature must increase suddenly at each singular time on some part of $\mathbb T^2$.

研究の動機と目的

• 物理的に正しい制約 |d| = 1 を満たす2次元トーラス上での非等温ネマチック液晶系に対して、弱解の全球的存在を確立すること。
• ペナルティ項 f(d) の代わりに |∇d|²d の非ペナルティ項があるために、配向場 d の2階微分に対する事前推定が得られないという技術的困難を克服すること。
• ギンツブルグ＝ランダウ法を避ける新しい近似系を構築し、局所エネルギー不等式を用いて高階微分の制御を可能にすること。
• 弱解が全エネルギーを保存することを証明し、エネルギーが集中する有限個の特異時刻において、温度が急激に上昇することを示すこと。

提案手法

• ペナルティ項 f(d) を χ_M(|∇d|²)d に置き換える新しい近似系を導入し、|d| = 1 の制約を保存する。
• 局所エネルギー不等式を用いて、基本的エネルギーバランスからは得られない、配向場 d の2階空間微分の推定を回復する。
• 温度依存の粘性係数 μ(θ) を用いた修正された応力テンソル S_N = μ(θ)(∇u + ∇u^T) を導入し、物理的現実性を反映する。
• カムパナト空間理論とコンパクトネスの議論を用いて、近似系における極限への移行を実現する。
• 分布的意味でのエネルギー恒等式とエントロピー不等式を確立し、弱解の性質を保証する。
• エネルギーの減衰と有限特異時刻構造に依存して、特異時刻を超えて解を繰り返し拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペナルティ関数 f(d) の代わりに物理的に正しい項 |∇d|²d を用いた2次元非等温ネマチック液晶系に対して、全球的弱解が存在しうるか。
• RQ2 特に粘性係数が温度に依存する場合に、事前境界が得られない中で、配向場 d の2階微分推定をどのように回復できるか。
• RQ3 温度依存の粘性係数により標準的 L^∞(H¹) 推定が失敗する状況下で、局所エネルギー不等式が解の正則性を制御する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ4 弱解は全エネルギーを保存するか。運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、熱エネルギーの間でのエネルギー移行の挙動はいかなるものか。
• RQ5 解に現れる特異時刻は最大で何回まで存在しうるか。その時刻にどのような物理現象（例：温度の急上昇）が発生するか。

主な発見

• 2次元トーラス T² 上の非等温ネマチック液晶系に対して、物理的に正しい項 |∇d|²d を用いた全球的弱解が存在する。
• 解は全エネルギーを保存し、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーがすべて熱エネルギーに完全に転送される。
• エネルギーが集中する有限個の特異時刻が存在し、それぞれの時刻に T² のある部分集合上で温度が急激に上昇する必要がある。
• 標準的エネルギーバランスからは得られないが、局所エネルギー不等式を用いることで、配向場 d の2階空間微分が回復される。
• エネルギーの減衰とコンパクトネスに依存して、特異時刻を超えて解を繰り返し拡張することで、全球的解が構成される。
• 配向場 d は、u と ∇d の L⁴ 範囲における小さな条件に従い、空間時間で Hölder 正則性 C^{β,β/2} を満たす。