[論文レビュー] Global well-posedness and scattering for nonlinear Schr{ö}dinger equations with algebraic nonlinearity when $d = 2, 3$, $u_{0}$ radial

Benjamin Dodson|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、初期データが径数的で、Sobolev空間 $ H^s $ に属し、$ s > s_c $ であるとき、2次元および3次元における代数的非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式のグローバルな適切性と散乱を確立する。$ s_c $ は臨界正則性である。I-法と長時間Strichartz推移を用いて、3次元では $ s > 1/2 $、2次元では $ s > 1 - 1/k $ における径数的初期データに対するグローバル存在と散乱を証明し、2次元の場合の $ L_{t,x}^{4k} $ ノルムに対して明示的な上限を提供する。

ABSTRACT

In this paper we discuss global well - posedness and scattering for some initial value problems that are $L^{2}$ supercritical and $\dot{H}^{1}$ subcritical, with radial data. We prove global well - posedness and scattering for radial data in $H^{s}$, $s > s_{c}$, where the problem is $\dot{H}^{s_{c}}$ - critical. We make use of the long time Strichartz estimates of \cite{D2} to do this.

研究の動機と目的

• 代数的非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式の2次元および3次元におけるグローバルな適切性と散乱を、初期データが径数的である場合に確立すること。
• 臨界Sobolev閾値 $ s_c $ を超える初期データの正則性の範囲を拡張し、2次元および3次元の両方において $ s > s_c $ で適切性を証明すること。
• 2次元立方型の場合（$ k=1 $）における径数的解の散乱サイズの明示的上限を、$ L_{t,x}^{4k} $ ノルムを用いて提供すること。
• 従来の径数的 $ L^2 $-グローバル適切性の結果を、$ s > s_c $ であるより高い正則性空間 $ H^s $ に一般化し、I-法を用いて行うこと。

提案手法

• I-法を用いて、低周波数で恒等写像を近似する周波数截断作用素 $ I $ を用いた修正エネルギー $ E(Iu(t)) $ の成長を制御する。
• 長時間Strichartz推移 [13] を用いて、解の高周波成分を長時間にわたり制御する。
• 解を二重周波数射影 $ P_{ eq rac{N}{8k}} $ を用いて低周波成分と高周波成分に分解し、高周波成分はBernsteinの不等式とSobolev埋め込みで制御する。
• エネルギー増分推移は、導関数 $ \frac{d}{dt}E(Iu(t)) $ の有界性から得られ、$ N^{-1+} $ よりもゆっくり成長することが示され、これによりエネルギーが長時間にわたり有界に保たれることを保証する。
• 径数的対称性を活用してStrichartz推移を改善し、特に2次元の場合に非線形相互作用を制御する。径数的対称性により $ L^p $-型の境界が向上する。
• スケーリングの議論と $ L^2 $、$ \dot{H}^1 $、$ L^{4k} $ ノルム間の補間を用いて、解の $ L_{t,x}^{4k} $ ノルムにおける定量的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元立方型非線形シュレーディンガー方程式（$ F(u) = |u|^2u $）は、$ \dot{H}^{1/2} $ 空間を超える $ s > 1/2 $ における径数的初期データ $ u_0 \in H^s $ に対してグローバル適切性と散乱を示せるか？
• RQ2 2次元立方型NLS（$ k=1 $）の径数的解について、初期データの正則性と質量を用いて、$ L_{t,x}^{4} $ ノルムの明示的上限を導出できるか？
• RQ3 I-法と長時間Strichartz推移を組み合わせることで、$ k > 1 $ である2次元焦点的NLSに対して、$ s > 1 - 1/k $ における径数的初期データ $ u_0 \in H^s $ に対してグローバル制御が可能か？
• RQ4 径数的対称性は非線形相互作用の制御をどのように向上させ、エネルギー未満臨界領域におけるグローバル存在を可能にするか？

主な発見

• 3次元立方型NLS（$ F(u) = |u|^2u $）は、$ s > 1/2 $ におけるすべての径数的初期データ $ u_0 \in H^s $ に対してグローバル適切性と散乱を示し、臨界 $ \dot{H}^{1/2} $ 空間を超える。
• 2次元立方型NLS（$ k=1 $）では、$ \|u\|_{L_{t,x}^{4}(\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{2})}^{4} \lesssim (\|u_0\|_{\dot{H}^s} + \||x|^s u_0\|_{L^2})^{\frac{8(1-s)}{s}+2}(1 + \|u_0\|_{L^2})^{\frac{4(1-s)}{s}+1} $ が、径数的 $ u_0 \in H^s $、$ s > 0 $ に対して成り立つ。
• 2次元焦点的立方型NLSでは、爆発の閾値を反映する因子 $ (1 - \|u_0\|_{L^2}^2 / \|Q\|_{L^2}^2)^{-1/s} $ が散乱サイズの境界に含まれる。ここで $ Q $ は基底状態である。
• 2次元NLS（$ k > 1 $）は、$ s > 1 - 1/k $ における径数的初期データ $ u_0 \in H^s $ に対してグローバル適切性と散乱を示し、$ k > 1 $ のエネルギー未満臨界領域で初めてこのような結果を得た。
• エネルギー増分 $ \left| \frac{d}{dt}E(Iu(t)) \right| $ は $ \lesssim N^{-1+} $ で有界であり、これにより修正エネルギーが長時間にわたり一様に有界に保たれる。
• 解の $ H^s $ ノルムの成長は、$ e^{C \cdot \frac{s_c(1-s)}{s - s_c}} $ のオーダーで、解のサイズの境界が臨界正則性 $ s_c $ からの距離に指数的に依存することを示している。