[論文レビュー] Global Well-posedness and Scattering of Defocusing Energy subcritical Nonlinear Wave Equation in dimension 3 with radial data

Ruipeng Shen|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、臨界ノルムの一様有界性を仮定する下で、3次元で径対称な初期データをもつエネルギー下位臨界非線形波動方程式について、$s > 15/16$ の $\hat{H}^s \times \dot{H}^{s-1}$ 空間における大域的適切性と散乱を確立する。証明は、集中・compactnessアプローチ、精密化された局所推定、およびスケール関数 $Q(T)$ の成長に起因する矛盾による背理法に依拠し、有限時刻 blowup が重ねられた上界と下界の矛盾により、不可能であることが示される。重み付き $L^{p+2}$ 積分の上界と下界の両方が一致しないことから、解の爆発は不可能である。

ABSTRACT

The paper deals with the defocusing case of the energy subcritical non-linear wave equation in $R^3$. We assume the initial data is in the space $\dot{H}^s imes \dot{H}^{s-1}$ and radial. If $s=1$, this is the energy space and the scattering results are known. In this paper we choose $15/16

研究の動機と目的

• 3次元の $\mathbb{R}^3$ におけるエネルギー下位臨界非線形波動方程式について、$s > 15/16$ の条件下で、径対称な初期データ $\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}$ に対して大域的存在と散乱を確立すること。
• エネルギー保存則が成り立たない $s < 1$ の場合に備え、最大寿命 $I$ 全体で臨界ノルム $\|u\|_{S(I)}$ の一様有界性を仮定すること。
• スケール関数 $Q(T)$ の仮定的成長に起因する矛盾を導出し、解が有限時刻に爆発しないことを証明すること。
• 保存エネルギーの欠如を克服し、精密化された局所的および摂動的推定を用いて、エネルギー下位臨界領域への散乱理論を拡張すること。

提案手法

• 大域的適切性の失敗を仮定すると、臨界ノルムをもつ最小爆発解が存在することを示す集中・compactness戦略を用いる。
• $s \in [15/16, 1)$ の範囲で、$\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}$ 框組みにおける一般化されたStrichartz推定を用いる。
• 初期データが小さい参照解に近い解を制御する長時間摂動理論を適用する。
• 解の集中を計測するスケール関数 $Q(T)$ を導入し、有限速度伝播性を用いてモデル解と比較する。
• コンパクト性とボックス分解を用いて、錐 $\Omega_R$ 内で $\int\!\!\int_{\Omega_R} \frac{|u|^{p+2}}{|x|} dx dt$ の下界を導出する。
• 摂動された解 $\tilde{u}$ の有限エネルギー構造を用いて上界を導出し、下界と組み合わせることで矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー保存則が成り立たない場合に、$s > 15/16$ の条件下で、3次元のエネルギー下位臨界波動方程式について大域的適切性と散乱を確立できるか？
• RQ2 臨界ノルム $\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}$ が一様有界であるがエネルギー保存則が成り立たない場合、解の寿命はどのように変化するか？
• RQ3 解の集中を測るスケール関数 $Q(T)$ の成長から、矛盾を導出できるか？
• RQ4 有限速度伝播性は、錐 $\Omega_R$ 内で解とモデル解を比較する際にどのように寄与するか？
• RQ5 重み付き $L^{p+2}$ ノルムの下界において、臨界スケーリング $\lambda(t)^{2-2s}$ が果たす役割は何か？

主な発見

• $s > 15/16$ の場合、最大寿命 $I$ 全体で $\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}$ ノルムが一様有界である任意の径対称解は大域的である、すなわち $I = \mathbb{R}$ である。
• 解は、$\|u(t) - S(t)(u_0^\pm, u_1^\pm)\|_{\dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}} \to 0$ ($t \to \pm\infty$ のとき) を満たす漸近状態 $(u_0^\pm, u_1^\pm) \in \dot{H}^s \times \dot{H}^{s-1}$ をもつ意味で散乱する。
• スケール関数 $Q(T)$ は、集中するdyadic時間区間の数を数えるものであり、$T$ に対して線形的成長が最大であるが、下界の $\kappa^n$ 型成長により、$Q(T)$ が任意のべきよりも速く成長すると矛盾が生じる。
• 下界 $\eta_0 Q(R/C_2)$ と上界 $C_u Q(100R)^{16(1-s)}$ を組み合わせることで、矛盾が生じる。$s > 15/16$ のとき $16(1-s) < 1$ であるため、超指数的成長が生じ、線形上界に反する。
• $Q(T) \to \infty$ の仮定から $Q(C_3^n R_2) \geq Q(R_2)^{\kappa^n}$ が得られ、$n$ が十分に大きいとき線形成長推定 $Q(T) \leq T/d + 1$ と矛盾する。
• したがって、解は有限時刻に爆発できない。一様有界性の仮定により、大域的解の存在と散乱が保証される。