[論文レビュー] Global well-posedness for two-dimensional flows of viscoelastic rate-type fluids with stress diffusion

Miroslav Bulíček, Josef Málek+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2022

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般の目的微分と、Oldroyd-BおよびGiesekusの特徴を組み合わせた強固な構成モデルを用いて、応力拡散を伴う粘弾性率型流体の2次元流れについて、グローバルな適切性を確立する。初期データおよび力がL²空間に属する任意のものに対し、一意でグローバルに定義された弱解の存在を証明し、初期データが十分に滑らかであれば応力テンソルBの正則性と正定値性が保たれる。

ABSTRACT

We consider the system of partial differential equations governing two-dimensional flows of a robust class of viscoelastic rate-type fluids with stress diffusion, involving a general objective derivative. The studied system generalizes the incompressible Navier--Stokes equations for the fluid velocity $v$ and pressure $p$ by the presence of an additional term in the constitutive equation for the Cauchy stress expressed in terms of a positive definite tensor $B$. The tensor $B$ evolves according to a diffusive variant of an equation that can be viewed as a combination of corresponding counterparts of Oldroyd-B and Giesekus models. Considering spatially periodic problem, we prove that for arbitrary initial data and forcing in appropriate $L^2$ spaces, there exists a unique globally defined weak solution to the equations of motion, and more regular initial data and forcing launch a more regular solution with $\bs B$ positive definite everywhere.

研究の動機と目的

• 応力拡散を伴う2次元の強固なクラスの粘弾性率型流体の流れについて、グローバルな適切性を確立すること。
• ナビエ＝ストークス方程式を越えた複雑流体モデルの数学的基盤を、大規模データおよび長時間挙動の文脈で拡張すること。
• L²空間における一般の初期データおよび外力に対して、弱解の存在、一意性、および完全な正則性を証明すること。
• 初期データが滑らかであれば、テンソルB（弾性エネルギーをモデル化）の正定値性が常に保たれることを保証すること。
• 従来の3次元結果を2次元に一般化し、小刻みの仮定なしに、より強い正則性とグローバル存在を達成すること。

提案手法

• 空間的周期的境界条件を満たす2次元トーラスT²上で系を定式化する。
• 上側巻き付きマクスウェル、ジョウマン–ツァレムバ、およびゴードン–シュアウルター微分を特別な場合として含む一般の目的時間微分⋄Bを用いる。
• 非線形性に対処し、Bの逆行列の存在を保証するために、正則化（ǫ-正則化）された系を用いる。
• Aubin–Lionsの補題とBanach–Alaogluの定理を用いて、近似解の強収束および弱収束を抽出する。
• 正則化系に対してエネルギー恒等式（A.10）を導出し、エネルギーおよび散逸項の強制性を保証する。
• Fatouの補題とρǫ(Bǫ) → 1 almost everywhereの点単位収束を用いて、極限に移行し、元の系を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 応力拡散および一般の目的微分を伴う2次元の粘弾性率型流体に対して、グローバルに定義された弱解が存在するか？
• RQ2 初期データが滑らかであれば、応力テンソルBの完全な正則性と正定値性が常に保たれるか？
• RQ3 任意のL²初期データおよび外力に対して、解は一意的かつ安定的か？
• RQ4 β ∈ (0,1) の2次元の場合に、エネルギーバランスと強制性構造が保たれるか？数学的堅牢性が保証されるか？
• RQ5 モデルは、応力緩和およびせん断帯の発現といった物理的特徴を保持しながら、グローバルな適切性を保証するか？

主な発見

• 初期データがL²に属し、外力がL²(0,T; H⁻¹)に属する任意のものに対し、小刻みの仮定なしに、一意でグローバルに定義された弱解が存在する。
• 解はv ∈ C([0,T]; L²)、B ∈ C([0,T]; L²)、および∇v, ∇B ∈ L²(0,T; L²)を満たし、強い正則性が保証される。
• 初期データが滑らかであれば、ǫ-正則化と極限過程のおかげで、すべての時間においてテンソルBがほとんど everywhere で正定値のままである。
• 正則化系に対してエネルギー恒等式（A.10）が成り立ち、強制的な散逸項が安定性および収束性を保証する。
• 極限解(v,B)は弱い意味で元の系（2.1）–（2.2）を満たし、すべての関連する項の収束が成立する。
• モデルは、Oldroyd-B、Giesekus、およびJohnson–Segalmanモデルの拡散型を特別な場合として含み、すべてのケースでグローバルな適切性が確立されている。