[論文レビュー] Global Well-posedness of Non-Markovian Multidimensional Superquadratic BSDE

Kihun Nam|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、勾配における超二次的成長を示す多次元的・非マルコフ型後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）のグローバルな適切性を、後向き反復と完全に結合されたパス依存型FBSDEの局所的適切性に基づく確率的アプローチを用いて確立する。主な貢献は、このようなBSDEに対する一般化された存在および一意性の結果であり、パス依存型PDEへの応用を含む、勾配における超二次的非線形性を有する方程式へと拡張される。

ABSTRACT

(Working Paper) Using a purely probabilistic argument, we prove the global well-posedness of multidimensional superquadratic backward stochastic differential equations (BSDEs) without Markovian assumption. The key technique is the interplay between the local well-posedness of fully coupled path-dependent forward backward stochastic differential equations (FBSDEs) and backward iterations of the superquadratic BSDE. The superquadratic BSDE studied in this article includes quadratic BSDEs appear in stochastic differential game and price impact model. We also study the well-posedness of superquadratic FBSDEs and FBSDEs with measurable coefficients using the corresponding BSDE results. Our result also provides the well-posedness of a system of path-dependent quasilinear partial differential equations where the nonlinearity has superquadratic growth in the gradient of the solution.

研究の動機と目的

• 勾配における超二次的成長を示す多次元的後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）のグローバルな適切性を、マルコフ性を仮定せずに確立すること。
• 可測係数を有する完全に結合されたパス依存型FBSDEへと適切性の枠組みを拡張すること。
• 超二次的BSDEの解と、勾配における超二次的非線形性を有するパス依存型準線形PDEの連立方程式の可解性との間の関係を確立すること。
• PDE手法やマルコフ性の仮定に依存しない純粋な確率的アプローチを開発すること。

提案手法

• 超二次的BSDEの後向き反復を用いて、逐次的に解を構築する。
• 完全に結合されたパス依存型前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）の局所的適切性を基礎的段階として用いる。
• PDEに基づく手法やマルコフ性の仮定に依存しない、純粋な確率的議論を採用する。
• BSDEの解とパス依存型準線形PDEの連立方程式の解との間の関係を確立する。
• 可測係数条件を適用して、より滑らかでない係数を有するFBSDEへと結果を拡張する。
• 局所的FBSDEの適切性と反復的BSDE近似との相互作用を用いて、グローバルな存在および一意性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ性を仮定しない条件下で、多次元的超二次的BSDEのグローバルな適切性を確立できるか？
• RQ2 マルコフ構造が存在しない状況において、BSDEの後向き反復をどのように用いてグローバル解を構築できるか？
• RQ3 超二次的BSDEと、勾配における超二次的非線形性を有するパス依存型準線形PDEの連立方程式との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 BSDEの枠組みを用いて、可測係数を有するFBSDEへと適切性結果を拡張できるか？
• RQ5 超二次的BSDEを解く際に、PDEに基づくアプローチを回避するための確率的技法は何か？

主な発見

• マルコフ性を仮定しない多次元的・非マルコフ型BSDEについて、勾配における超二次的成長を有するグローバルな適切性が確立された。
• 解法は後向き反復と完全に結合されたパス依存型FBSDEの局所的適切性に依存する。
• この枠組みは、確率的微分ゲームや価格影響モデルに現れる2次型BSDEにも適用可能である。
• 可測係数を有するFBSDEについても、BSDEの結果を用いて適切性が拡張された。
• 結果として、解の勾配における超二次的非線形性を有するパス依存型準線形PDEの連立方程式の可解性が示された。
• このアプローチは、このような方程式を解くためにPDEに基づく手法に代わる確率的代替手法を提供する。