[論文レビュー] Global well-posedness, scattering and blow-up for the energy critical focusing non-linear wave equation

Carlos E. Kenig, Franck Merle|ArXiv.org|Oct 26, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $3 \leq N \leq 5$ におけるエネルギー臨界的凝縮非線形波動方程式について、グローバルな適切性と散乱を確立する。エネルギーが基底状態 $W$ よりも厳密に小さい解および初期勾配ノルムが $\|\nabla W\|_{L^2}$ よりも小さい解は、すべて時間にわたってグローバルに存在し、散乱する。初期エネルギーが $E(W,0)$ よりも小さいが初期勾配ノルムが $\|\nabla W\|_{L^2}$ を超える解は、有限時間で爆発する。これは、エネルギー臨界的ケースにおけるグローバル解と爆発の挙動を分類する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove, for the energy critcal, focusing NLW, that for Cauchy data (u_0, u_1) whose energy is smaller than that of (W,0), where W is the well-known radial positive solution to the corresponding ellipyic equation, the following dichotomy holds: a) if the homogeneous Sobolev norm H^1 of u_0 is smaller than that of W, we have global well-posedness and scattering, b) if the homogeneous Sobolev norm H^1 of u_0 is larger than that of W, there is blow-up in finite time. Our general approach is the one we introduced in our previous work on the corresponding problem for NLS (math.AP/0610266, Inventiones Math 2006, Online First), where we proved the corresponding result for NLS in the radial case. In the case of the wave equation we are able to treat general data by using a further conservation law in the energy space, the finite speed of propagation and Lorentz transformations to establish a crucial orthogonality property for " energy critical " elements. To prove the required rigidity theorem in the case of blow-up in finite time, we cannot use the invariance of the L^2 norm as in the case of NLS. Instead, (following earlier work of Merle-Zaag and of Giga-Kohn in the parabolic case) we introduce self-similar variables. We thus find a further Liapunov function which allows us to reduce matters to a degenerate elliptic problem with critical non-linearity. We use unique continuation to rule out the existence of non-zero solutions for the degenerate elliptic problem, thus completing the proof.

研究の動機と目的

• 次元 $3 \leq N \leq 5$ におけるエネルギー臨界的凝縮非線形波動方程式のグローバル存在と散乱を分類すること。
• 初期エネルギーと勾配ノルムが基底状態 $W$ に対してどのように関係するかに基づいて解を特徴づけるという、長年の未解決問題を解消すること。
• 凝縮ケースにおけるグローバル存在と有限時間爆発の鋭い基準を確立すること。非凝縮ケースではグローバル適切性が既知である。

提案手法

• エネルギー空間におけるコンact性の性質を持つ「臨界的要素」（最小爆発解）を構成するため、集中・compact性のアプローチの使用。
• 有限速度伝搬とローレンツ不変性を活用して、臨界的要素に関する重要な直交性性質を導入する第二の保存則の利用。
• 局所化されたバーリッド恒等式とエネルギー推定を用いて、無限時間存在の場合の非自明な解を除外する。
• 自己相似変数の適応とエネルギーの単調性を用いて爆発プロファイルを分析し、剛性定理に至る。
• 一意的続行原理を用いて、漸近的プロファイルが消えること、したがって非自明性と矛盾することを示し、剛性を証明する。
• 非線形シュレーディンガー方程式の場合の議論を波動方程式に拡張し、$L^2$ 保存則の欠如を克服するための新技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー臨界的凝縮非線形波動方程式がグローバル解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 初期エネルギーと勾配ノルムに関して、グローバル存在と有限時間爆発の鋭い閾値は何か？
• RQ3 散乱しない解は特徴づけられるか？また、それらは自己相似的爆発を示すか？
• RQ4 基底状態 $W$ の存在が、$E(W,0)$ よりもエネルギーが小さい解の長時間的ダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ5 ローレンツ不変性と有限速度伝搬を用いて、径対称性に依存しない剛性定理を確立できるか？

主な発見

• エネルギーが $E(W,0)$ よりも厳密に小さく、初期勾配ノルムが $\|\nabla W\|_{L^2}$ よりも厳密に小さい解は、時間全域にわたりグローバルに存在し、エネルギー空間で散乱する。
• エネルギーが $E(W,0)$ よりも小さいが初期勾配ノルムが $\|\nabla W\|_{L^2}$ を超える解は、前向きおよび後ろ向きの時間において有限時間で爆発する。
• 集中・compact性のアプローチにより構成された臨界的要素は、剛性定理により恒等的にゼロであることが示され、非自明な最小爆発解が存在しないことが証明される。
• 解ノルム $\|u\|_{L^{\frac{2(N+1)}{N-2}}_{xt}}$ は、基底状態エネルギー閾値からの距離に依存する関数 $M(\delta_0)$ によって一様に有界である。
• 爆発の場合、$t \to T_+$ において任意の固定された球内に、少なくとも $\frac{2}{N}\|\nabla W\|_{L^2}^2$ の濃縮が生じ、ある球内には少なくとも $\|\nabla W\|_{L^2}^2$ の濃縮が生じる。これは強い濃縮を示している。
• Tao-Visan や Bahouri-Gerard の技術を用いて、追加の仮定の下で、$N \geq 6$ の高次元に対しても結果が拡張可能である。