[論文レビュー] Global Well-Posedness with Large Oscillations and Vacuum to the Three-Dimensional Equations of Compressible Nematic Liquid Crystal Flows

Jing Li, Zhonghai Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、初期エネルギーが小さい条件下で、初期振動が大きく、真空中を含む3次元圧縮性ネマチック液晶流れ方程式に対して、古典的解の全球的存在および一意性を確立する。解が時間とともに平衡状態に収束することを示し、初期密度が広範囲にわたり、特にコンパクトな台を持つ領域で消える場合でも、解が滑らかで全球的によく定義されたままであることを証明する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the three-dimensional equations of a simplified hydrodynamic flow modeling the motion of compressible, nematic liquid crystal materials. The authors establish the global existence of classical solution to the Cauchy problem with smooth initial data which are of small energy but possibly large oscillations with constant state as far-field condition which could be either vacuum or non-vacuum. The initial density is allowed to vanish and the spatial measure of the set of vacuum can be arbitrarily large, in particular, the initial density can even have compact support. As a byproduct, the large-time behavior of the solution is also studied.

研究の動機と目的

• 初期振動が大きく、真空を含む3次元圧縮性ネマチック液晶流れ方程式に対する全球的古典的解の確立。
• 初期密度が任意の空間集合（特にコンパクトな台を有する集合を含む）で消える場合の解の挙動の分析。
• 解の長時間挙動を研究し、時間無限大において平衡状態に収束することを示す。
• 最小限の正則性およびエネルギー仮定のもとで、遠方状態が真空または非真空である場合の適定性理論の拡張。

提案手法

• 密度、速度、配向場を対象とする簡略化されたエリクセン＝レジス系を、双曲型・放物型系として定式化する。
• 初期エネルギーは小さいが、初期振動および真空を許容し、遠方境界条件を定数状態に近づける。
• 非線形項の制御と爆発の防止のため、エネルギー推定および高階L^pおよびL^∞ノルムの評価を用いる。
• 重み付きエネルギー推定および補間不等式を用いて、勾配および高階微分の成長を制御する。
• 連続性法およびブートストラップ法を用いて、局所解を時間全域にまで拡張する。
• エネルギーの減衰推定および主要なノルムの時間積分可能性を用いて、解の長時間減衰を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期振動が大きく、真空を含む3次元圧縮性ネマチック液晶流れ方程式に対して、全球的古典的解が存在しうるか？
• RQ2 初期密度が広範囲またはコンパクトな集合で消える場合、システムの全球的適定性を保証する条件は何か？
• RQ3 時間無限大に近づくとき、解はどのように振る舞うか。特に真空が存在する場合の挙動は？
• RQ4 初期振動が大きく、真空を含んでも、解が平衡状態に収束しうるか？
• RQ5 初期エネルギーの小ささが、初期振動が大きくても、全球的存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 初期エネルギーが小さい限り、初期振動の大きさに関わらず、遠方状態が定数であれば、3次元圧縮性ネマチック液晶流れ方程式に対して、全球的古典的解が存在する。
• 初期密度は任意の空間集合（特にコンパクトな台を有する集合を含む）で消えることを許容し、解は依然として全球的によく定義される。
• 解は平衡状態に収束する：初期条件が指定する範囲内の任意のpについて、L^pノルムにおいて密度が遠方密度に収束する。
• 速度勾配および配向場の勾配は、時間無限大に近づくにつれて、L^2および高階L^pノルムにおいてゼロに収束する。
• 速度勾配のL^2ノルムはゼロに収束し、配向場の高階ノルムも同様に減衰するため、平衡状態への安定化が示される。
• 主要なエネルギー項の時間積分可能性が保証され、解の定数状態への収束が確認され、長時間安定性が裏付けられる。