[論文レビュー] Globally Conservative, Hybrid Self-Adjoint Angular Flux and Least-Squares Method Compatible with Void

Vincent Labouré, Ryan G. McClarren+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己随伴角フラックス（SAAF）と保存的最小二乗法（CLS）を組み合わせることで、グローバルに保存的でバーチャル領域（void）に適合する2次元輸送法を提案する。非バーチャル領域ではSAAFを、バーチャル領域では補正されたLS形式を用い、グローバル保存性を回復させ、バーチャル領域でのみ対称性の損失が生じる。本手法は$P_N$および$S_N$離散化において検証され、標準的なLS法やSAAF–VT法と比較して、$k$-固有値問題およびバーチャル領域が支配的な問題において、優れた精度と保存性を達成した。

ABSTRACT

In this paper, we derive a method for the second-order form of the transport equation that is both globally conservative and compatible with voids, using Continuous Finite Element Methods (CFEM). The main idea is to use the Least-Squares (LS) form of the transport equation in the void regions and the Self-Adjoint Angular Flux (SAAF) form elsewhere. While the SAAF formulation is globally conservative, the LS formulation need a correction in void. The price to pay for this fix is the loss of symmetry of the bilinear form. We first derive this Conservative LS (CLS) formulation in void. Second we combine the SAAF and CLS forms and end up with an hybrid SAAF-CLS method, having the desired properties. We show that extending the theory to near-void regions is a minor complication and can be done without affecting the global conservation of the scheme. Being angular discretization agnostic, this method can be applied to both discrete ordinates (SN) and spherical harmonics (PN) methods. However, since a globally conservative and void compatible second-order form already exists for SN (Wang et al. 2014), but is believed to be new for PN, we focus most of our attention on that latter angular discretization. We implement and test our method in Rattlesnake within the Multiphysics Object Oriented Simulation Environment (MOOSE) framework. Results comparing it to other methods are presented.

研究の動機と目的

• グローバルに保存的でバーチャル領域に適合する2次元輸送法の開発を目的とし、既存のSAAFおよびLS形式の限界を解消すること。
• バーチャル領域における標準的LS法のグローバル保存性の欠如が$k$-固有値問題の精度を低下させる問題を解消すること。
• 定常断面積を持つ近バーチャル領域への拡張を図り、グローバル保存性を維持すること。
• 特に$P_N$法における空白を埋めるために、$S_N$および$P_N$両方の角運動量離散化に適合可能であることを目的とすること。
• MOOSEフレームワーク内でのRattlesnakeコードに実装し、基準解および既存手法と比較して、ハイブリッドSAAF–CLS法の実装と検証を行うこと。

提案手法

• 領域をバーチャル領域（$\mathcal{D}_0$）と非バーチャル領域（$\mathcal{D}_1$）に分割し、$\mathcal{D}_1$ではSAAFを、$\mathcal{D}_0$では修正されたLS形式を用いる。
• バーチャル領域でグローバル保存性を回復させるために、非対称補正項を追加した保存的LS（CLS）形式を導出する。これは、LS形式における離散化誤差を是正することを目的としている。
• ハイブリッドSAAF–CLS変分形式は、界面項が消えるようにスケーリング係数を導入することで、両形式を統合し、グローバル保存性を保持する。
• 定常断面積を持つ近バーチャル領域への一般化は、これらを定常断面積領域として扱い、LS形式に修正補正項を適用することで実現する。
• 本手法は角運動量離散化に依存せず、$S_N$および$P_N$両方の方法をサポートする。Rattlesnakeコード内でMOOSEフレームワーク内に実装されている。
• 変分形式の注意深い設計により、バーチャル補正によって双線形形式の対称性が損なわれても、グローバル保存性が維持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の手法が不適切な条件により失敗する中で、$P_N$角運動量離散化を用いた2次元輸送法がグローバルに保存的でバーチャル領域に適合可能かどうか。
• RQ2 標準的LS形式がバーチャル領域で非保存的である問題を、安定性や計算効率を損なわず補正する方法は何か。
• RQ3 適切なスケーリングを用いたSAAFとCLS形式のハイブリッド化により、バーチャル領域と非バーチャル領域の界面でグローバル保存性が保持されるか。
• RQ4 ハイブリッドSAAF–CLS法は、$k$-固有値問題およびバーチャル領域が支配的な問題において、LS–$P_N$、LS–$S_N$、SAAF–VT–$S_N$法と比較してどのように性能を発揮するか。
• RQ5 定常断面積を持つ近バーチャル領域への拡張は、グローバル保存性と精度を維持したまま可能か。

主な発見

• 保存的LS（CLS）形式は、バーチャル領域におけるグローバル保存性を効果的に回復させ、スカラー束流の誤差がメッシュおよび角運動量の細分化に伴い減少する。特に$P_N$および$S_N$法で顕著である。
• SAAF–CLS–$P_N$法は、最も細分化されたメッシュで最初の空間点における誤差が$10^{-2}$ cm⁻²s⁻¹未満に低下し、SAAF–VT–$S_N$法と同等の性能を示した。
• SAAF–CLS–$S_N$法は、ストリーミング項における非対角結合項が少ないため、$P_N$法と比較して著しく低い計算コストを実現した。
• 標準的LS–$P_N$およびLS–$S_N$法と比較して、特に大きなバーチャル領域を有する$k$-固有値問題において、グローバル保存性と精度の両面で本手法が優れた性能を示した。
• ハイブリッドSAAF–CLS法は、近バーチャル領域でもグローバル保存性を維持し、SAAF–VT–$S_N$法と同等の結果を得ており、一般化された補正項の有効性が裏付けられた。
• Hypre BoomerAMGプリコンディショナは、SAAF–VT–$S_N$法に対してSAAF–CLS–$S_N$法よりも効果的でなかったが、これはバーチャル領域で非ゼロの対角項がメッシュ細分化に伴い残存するためと推定される。