[論文レビュー] Globally generated vector bundles with $c_1 = 5$ on $\mathbb{P}^3$

Cristian Anghel, Iustin Coandă+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{P}^3$ 上の $c_1 = 5$ である globally generated ベクトル束を分類し、問題を $c_1(F) = -1$ かつ $2 \leq c_2(F) \leq 4$ である安定的でランク 3 の束 $F$ の分類に還元する。さらに、$F(2)$ が globally generated であるようなものに制限する。主な結果として、$(c_2, c_3) = (12, 0)$ および $(13, 5)$ を除くすべてのケースについて、完全な分類が得られ、明示的なモノイド記述とファミリー構造が提示されている。

ABSTRACT

We provide a classification of globally generated vector bundles with $c_1 = 5$ on the projective 3-space. The classification is complete (except for one case) but not as detailed as the corresponding classification in the case $c_1 = 4$ from our paper [Memoirs A.M.S., Vol. 253, No. 1209 (2018), also arXiv:1305.3464]. We determine, at least, the pairs of integers $(a , b)$ for which there exist globally generated vector bundles on the projective 3-space with Chern classes $c_1 = 5$, $c_2 = a$, $c_3 = b$ (except for the case $(12 , 0)$ and the complementary case $(13 , 5)$ which remain undecided), we describe the Horrocks monads of these vector bundles and we organize them into several families with irreducible bases. We use some of the results from our paper [arXiv:1502.05553] (for which we give, however, a direct self-contained proof in one of the appendices of the present paper) to reduce the problem to the classification of stable rank 3 vector bundles $F$ with $c_1(F) = -1$, $2 \leq c_2(F) \leq 4$, having the property that $F(2)$ is globally generated. We use, then, the spectrum of such a bundle to get the necessary cohomological information. Some of the constructions appearing in the present paper are used (and reproduced, for the reader's convenience) in another paper of ours [arXiv:1711.06060] in which we provide an alternative to Chang and Ran's proof of the unirationality of the moduli spaces of curves of degree at most 13 from [Invent. Math. 76 (1984), 41--54].

研究の動機と目的

• 標準的なコホモロジー的消失と安定性の仮定の下で、$\mathbb{P}^3$ 上の $c_1 = 5$ である globally generated ベクトル束を分類すること。
• 分類問題を、$c_1(F) = -1$ かつ $2 \leq c_2(F) \leq 4$ であり、$F(2)$ が globally generated であるような安定的ランク 3 ベクトル束 $F$ の研究に還元すること。
• このような束が存在するすべてのペア $(c_2, c_3)$ を特定すること。ただし、$(12, 0)$ および $(13, 5)$ のケースを除く。
• これらの束の Horrocks モノイドを記述し、基底が既約であるファミリーに整理すること。

提案手法

• $r-3$ 個の一般な全局的切断を用いた還元により、ランク $r$ の束をランク 3 の束 $E'$ に還元し、その後 $F := E'(-2)$ と正規化することで $c_1(F) = -1$ を得る。
• Okonek, Spindler, Coandă が開発した、安定的ランク 3 ベクトル束のスペクトルからのコホモロジー的データを適用する。
• Serre の拡張法とインスタントンおよびリボージョン理論に関する補助結果を用いて、束の構造を分析する。
• Horrocks モノイド構成を用いて、束のコホモロジー的および幾何的性質を記述する。
• リボージョンに関する Ferrand の結果を応用し、関連する曲線の理想層のモノイド構造を導出する。
• 付録で、$\mathrm{H}^0(E(-2)) \neq 0$ を満たす束の構造に関する重要な結果の自己完結的証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデコンポジットで globally generated であり、$c_1 = 5$ である $\mathbb{P}^3$ 上のベクトル束の Chern 類として、どのペア $(c_2, c_3)$ が現れるか？
• RQ2 このような束の Horrocks モノイドの構造は何か？ また、基底が既約であるファミリーにどのように整理できるか？
• RQ3 分類が、$c_1(F) = -1$ かつ $2 \leq c_2(F) \leq 4$ であり、$F(2)$ が globally generated であるような安定的ランク 3 ベクトル束 $F$ の研究にどのように還元できるか？
• RQ4 $\mathrm{H}^0(E(-2)) = 0$ の条件が分類を単純化する役割を果たす理由は何か？
• RQ5 分類において未解決のケースは何か？ なぜそれらは未解決のまま残っているのか？

主な発見

• $(c_2, c_3)$ のペアについて、$c_2 \leq 12$ の場合、$(12, 0)$ およびその補完的ケース $(13, 5)$ を除き、すべてのケースで分類は完全に得られている。
• $c_2 = 8$, $c_3 = 0$ の場合、束は $c_1(G) = -1$, $c_2(G) = 2$, かつ $i = 0,1$ に対して $\mathrm{H}^i(G^\vee) = 0$ を満たす安定的ランク 2 ベクトル束 $G$ に対して $G(3)$ に同型である。
• 束の Horrocks モノイドは明示的に記述されており、束は基底が既約であるファミリーに整理されている。
• 付録で、$\mathrm{H}^0(E(-2)) \neq 0$ を満たす束の構造に関する結果を自己完結的に証明しており、このような束は分解可能であるか、または $G(3)$ に同型であることが確認されている。
• 分類は、$c_1 = -1$ かつ $c_2 \in \{2,3,4\}$ である安定的ランク 3 ベクトル束のスペクトルと、$F(2)$ が globally generated であるという条件に依存している。
• 結果は、別の研究において、次数 13 以下の曲線のモジュライ空間のユニラティカル性の別証明に応用されている。