[論文レビュー] Globally Hyperbolic Lorentzian Manifolds with Special Holonomy Groups

Yaroslav Bazaikin|ArXiv.org|Sep 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホロノミー代数の直交部分がリーマン多様体のホロノミー群である必要があることを利用し、特殊なホロノミー群をもつグローバルに双曲的なローレンツ多様体を構成する。主な結果は、ランク >1 のケーラー対称空間の回転表現を含まないような任意の直交部分に対して、対応する特殊ホロノミー群をもつグローバルに双曲的なローレンツ多様体が存在することを示し、ローレンツ幾何における特殊ホロノミーのグローバル実現問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that each special Lorentzian holonomy group (with the exception of those including the isotropy groups of Kähler symmetric spaces with rank greater than one) can be realized as the holonomy group of a globally hyperbolic Lorentzian manifold.

研究の動機と目的

• グローバルに双曲的なローレンツ多様体に特殊ホロノミー群をもつことの未解決問題を解消すること。
• 特殊ホロノミー代数の局所的実現を、グローバル的かつ因果的に良好な時空へと拡張すること。
• その直交部分に基づいて、特殊ローレンツホロノミー群のグローバル存在結果を確立すること。
• 直交部分がこのような時空のグローバル構造を決定づける役割を明らかにすること。
• 構成された計量が強い因果性およびグローバル双曲性条件を満たしていることを検証すること。

提案手法

• 構成は、望ましいローレンツホロノミー群 G の直交部分であるホロノミー群 H をもつリーマン多様体 M から出発する。
• 関数 F が座標とリーマン計量に依存するように定義される計量を、ℝ²⁺ⁿ⁻² × Mⁿ⁰ × Cₘ₁ × ⋯ × Cₘᵣ 上に構成する。
• 非空間的曲線の挙動と ℝ² への射影の分析により、計量が安定的因果的かつ強い因果的であることが示される。
• 微分不等式から得られる F の境界を用いて、任意の p₁, p₂ に対して因果ダイアモンド J⁺(p₁) ∩ J⁻(p₂) がコンパクトであることを示すことで、グローバル双曲性を証明する。
• 因果曲線に沿った F の成長を |dF/dξ| と |dF/dη| を含む微分推定式を用いて制限し、F の漸近的制御を導く。
• 最終的な時空は、グローバルに双曲的な 2+n−2 次元ローレンツ空間と完全なリーマン空間の直積として示され、したがって自身もグローバルに双曲的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの特殊ホロノミー群 G に対して、グローバルに双曲的なローレンツ多様体が存在するか？
• RQ2 ローレンツホロノミー代数の直交部分 H ⊂ SO(n) が、ホロノミー群 G をもつグローバルに双曲的な計量の存在を保証するための条件は何か？
• RQ3 特殊ホロノミー代数の局所的実現は、グローバル的かつ因果的に良好な時空へと拡張可能か？
• RQ4 計量構成における関数 F の挙動が、構成された計量の因果的性質にどのように依存するか？
• RQ5 完全なリーマン因子との積構造において、得られた時空のグローバル双曲性は保存されるか？

主な発見

• この論文は、ランク >1 のケーラー対称空間の回転表現を含まない任意のリーマンホロノミー群 H に対して、その直交部分が H であるような特殊ホロノミー群 G をもつグローバルに双曲的なローレンツ多様体が存在することを証明している。
• ℝ²⁺ⁿ⁻² × Mⁿ⁰ × Cₘ₁ × ⋯ × Cₘᵣ 上の構成された計量は、因果ダイアモンド J⁺(p₁) ∩ J⁻(p₂) の閉包がコンパクトであるため、グローバルに双曲的である。
• 計量における関数 F は、|ξ|²/³ や η² に比例して成長することが示され、因果曲線が ℝ² 内の有界領域に留まることを示し、因果ダイアモンドのコンパクト性を意味する。
• 時空 (N, g₀) は、グローバルに双曲的なローレンツ空間と完全なリーマン空間の積として等長であるため、自身もグローバルに双曲的である。
• 計量 (N, ̃g) は安定的因果的かつ強い因果的であり、その因果ダイアモンドはグローバルに双曲的なモデル (N, g₀) の因果ダイアモンドに含まれるため、グローバル双曲性が保証される。
• 因果構造に基づく F の微分的境界を用いて、F が非空間的曲線に沿って速く成長することはできないことが証明され、F の制御が可能になる。