[論文レビュー] Globally Resonant Homoclinic Tangencies

Sishu Shankar Muni|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2022

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は2次元写像におけるグローバルに共鳴するホモクラインねじれを調査し、同型の分岐が、符号反転型（codimension-three）または符号維持型（codimension-four）である場合に、無限に多くの安定な1ラウンド周期的解が共存しうることを示している。主な結果は、パrameterの方向に応じて分岐シーケンスのスケーリングが異なり、一般には ∼|λ|²ᵏ、退化した状況では ∼|λ|ᵏ や 1/k のスケーリングが見られ、極めて複雑な安定領域をもたらす点にある。

ABSTRACT

The attractors of a dynamical system govern its typical long-term behaviour. The presence of many attractors is significant as it means the behaviour is heavily dependent on the initial conditions. To understand how large numbers of attractors can coexist, in this thesis we study the occurrence of infinitely many stable single-round periodic solutions associated with homoclinic connections in two-dimensional maps. We show this phenomenon has a relatively high codimension requiring a homoclinic tangency and `global resonance', as has been described previously in the area-preserving setting. However, unlike in that setting, local resonant terms also play an important role. To determine how the phenomenon may manifest in bifurcation diagrams, we also study perturbations of a globally resonant homoclinic tangency. We find there exist sequences of saddle-node and period-doubling bifurcations. Interestingly, in different directions of parameter space, the bifurcation values scale differently resulting in a complicated shape for the stability region for each periodic solution. In degenerate directions, the bifurcation values scale substantially slower as illustrated in an abstract piecewise-smooth $C^{1}$ map.

研究の動機と目的

• 2次元写像における無限に多くの安定な1ラウンド周期的解が共存するメカニズムを理解すること。
• 符号反転型および符号維持型写像におけるグローバルに共鳴するホモクラインねじれのcodimensionを特定すること。
• このようなねじれから生じる分岐構造（特に座標型分岐と周期倍分岐のシーケンス）を分析すること。
• 異なるパrameter方向における分岐点のスケーリング則を特定すること。
• 特にニューロンモデルや衝突系などの応用分野における非線形力学系におけるマルチスタビリティへの影響を検討すること。

提案手法

• 写像の高次反復におけるトレースと行列式の境界を求めるために、正規形解析と安定性三角形条件を用いた。
• 1パラメータ族におけるホモクラインねじれの摂動を検討し、座標型分岐および周期倍分岐のシーケンスを同定した。
• 固定点の安定固有値 λ を分析することで、分岐値のスケーリング則を導出し、一般パラメータ方向と退化した方向を区別した。
• 数値的分岐ソフトウェアを用いて、分岐の解き方のシナリオ付近の座標型分岐点と周期倍分岐点を特定した。
• 分岐のスケーリング則が退化した状況で遅くなる例を示すために、C¹級の区分的滑らか写像を分析した。
• 局所的共鳴項とグローバル共鳴が安定領域の形状に与える影響を調査した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号反転型および符号維持型2次元写像におけるグローバルに共鳴するホモクラインねじれのcodimensionは何か？
• RQ2 ねじれの近傍におけるパラメータ空間の異なる方向における分岐点のスケーリング則はどのように変化するか？
• RQ3 このようなねじれの解き方において、1ラウンド周期的解の安定領域の構造はいかなるものか？
• RQ4 局所的共鳴項は、無限に多くの安定周期的軌道の出現にどのように寄与するか？
• RQ5 無限共存のメカニズムは、高次のねじれや高次元写像へ一般化可能か？

主な発見

• グローバルに共鳴するホモクラインねじれは、符号反転型写像ではcodimension3、符号維持型写像ではcodimension4で発生する。
• ねじれの近傍では、座標型分岐および周期倍分岐のシーケンスが出現し、一般には −1 < λ < 1 の範囲で分岐値が ∼|λ|²ᵏ にスケーリングする。
• 退化したパラメータ方向では、分岐値のスケーリングがより遅くなり、例として ∼|λ|ᵏ および ∼1/k のスケーリング則が観察された。
• 各周期的解の安定領域は、パラメータ方向とスケーリング行動に依存した極めて複雑な形状を示す。
• 一般スケーリング則 |λ|²ᵏ は、区分線形写像で観察される |λ|ᵏ スケーリングとは異なる。
• 符号維持型の場合に2ラウンド周期的解が観察され、さらなる分岐が同定されていないことが示唆された。