[論文レビュー] Globular: An Online Proof Assistant for Higher-Dimensional Rewriting

John W. Barrett, Meusburger, Catherine+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、双対を備えたグレイ圏のための3次元図式的記法を導入し、リボン図を高次元に一般化する。双対が自然同型を伴う関手を誘導することを確立し、180°回転対称性を回復する厳密化定理を証明し、図の評価がホメオモーティズムに関して不変となる「空間的条件」を定義する—これは位相的量子場理論や状態和モデルにおいて重要である。

ABSTRACT

The geometric and algebraic properties of Gray categories with duals are investigated by means of a diagrammatic calculus. The diagrams are three-dimensional stratifications of a cube, with regions, surfaces, lines and vertices labelled by Gray category data. These can be viewed as a generalisation of ribbon diagrams. The Gray categories present two types of duals, which are extended to functors of strict tricategories with natural isomorphisms, and correspond directly to symmetries of the diagrams. It is shown that these functors can be strictified so that the symmetries of a cube are realised exactly. A new condition on Gray categories with duals called the spatial condition is defined. A class of diagrams for which the evaluation for spatial Gray categories is invariant under homeomorphisms is exhibited. This relation between the geometry of the diagrams and structures in the Gray categories proves useful in computations and has potential applications in topological quantum field theory.

研究の動機と目的

• グレイ圏に双対を備えた幾何的・代数的枠組みを、3次元図式的記法を用いて構築すること。
• グレイ圏における双対が、特に180°回転に対応する3次元図の対称性としてどのように現れるかを理解すること。
• 図の評価が、3次元のストラティフィケーションのホメオモーティズムに関して不変となるような空間的条件を定義すること。
• 双対関手の合成が正確な180°回転対称性を回復するような厳密化定理を証明すること。
• 拡張型位相的量子場理論および状態和モデルのための図式的基盤を提供すること。

提案手法

• 立方体のストラティフィケーションとして3次元図を構成し、3次元、2次元、1次元、0次元のストラトゥムをそれぞれグレイ圏内の対象、1-、2-、3-自己準同型でラベル付ける。
• ジョイアルとストリートの図式的記法を3次元に一般化し、グレイ圏の3つの合成に対応する3つの直交する軸を用いる。
• 異なる座標軸の周りの180°回転に対応する2種類の双対（∗ と #）を導入し、整合性データを幾何的に符号化する。
• 図の評価が、3次元ストラティフィケーションのホメオモーティズムに関して不変となるように、グレイ圏に双対を備えた「空間的条件」を定義する。
• 2-厳密トライカテゴリーの関手を用いて双対作用をモデル化し、幾何的対称性を捉える自然同型 Γ と Θ を用いる。
• 厳密化技術を適用し、任意の空間的グレイ圏に双対を備えたものが、∗∗=1、##=1、∗#∗#=1 を満たすものに厳密同型にできると示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレイ圏における双対は、回転対称性を有する3次元図でどのように幾何的に表現できるか？
• RQ2 グレイ圏に双対を備えた場合に、2種類の双対（∗ と #）がもつ代数的構造は何か？
• RQ3 3次元ストラティフィケーションのホメオモーティズムに関して、グレイ圏図の評価が不変となる条件は何か？
• RQ4 双対関手 ∗ と # は、それらの合成が正確な180°回転恒等式を満たすように厳密化可能か？
• RQ5 グレイ圏に双対を備えた図式的記法は、拡張型位相的量子場理論における位相不変量とどのように関係するか？

主な発見

• ∗ と # の双対は、∗∗=1 および自然同型 Γ: ∗#∗# →1 と Θ: ## →1 を満たす2-厳密トライカテゴリーの関手に一意に拡張可能である。
• 一般のグレイ圏図の評価は、プログレッシブ図のイソトピーに関して不変であり、定理2.32で形式化されている。
• 空間的グレイ圏に対して、3次元ストラティフィケーションのホメオモーティズムに関して評価が不変となるような新しい空間的条件が定義された。
• 任意の空間的グレイ圏に双対を備えたものは、双対関手が ∗∗=1、##=1、∗#∗#=1 を満たすように厳密化可能であり、正確な180°回転対称性が回復される。
• 自然同型 ∆: # →∗#∗ は、2つのホメオモーティックな図を誘導するが、それらの評価は一般に等しくないため、空間的条件の導入が動機づけられる。
• 図式的記法は、幾何的対称性と代数的整合性データの直接的な関係を提供し、高次圏論およびTQFTにおける具体的な計算を可能にする。