[論文レビュー] Gluing and moduli for noncompact geometric problems

Rafe Mazzeo, Daniel Pollack|ArXiv.org|Jan 18, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ℝ³における有限全曲率最小曲面、ℝ³における有限トポロジー定常平均曲率曲面、および穴あきコンパact多様体上の定常正スカラー曲率の共形計量の3つの非コンパクト幾何学的問題に対して、新しい解を構成するための接着技術を開発する。主な貢献は、スカラー曲率問題の未マーク化モジュライ空間に関する新しいコンパクト性結果であり、非コンパクトな設定における解のモジュライ空間の理解を進める。

ABSTRACT

In this paper we survey a number of recent results concerning the existence and moduli spaces of solutions of various geometric problems on noncompact manifolds. The three problems which we discuss in detail are: I. Complete properly immersed minimal surfaces in $\RR^3$ with finite total curvature. II. Complete embedded surfaces of constant mean curvature in $\RR^3$ with finite topology. III. Complete conformal metrics of constant positive scalar curvature on $M^n \setminus Λ$, where $M^n$ is a compact Riemannian manifold, $n\geq3$ and $\Lam \subset M$ is closed. The existence results we discuss for each of these problems are ones whereby known solutions (sometimes satisfying certain nondegeneracy hypotheses) are glued together to produce new solutions. Although this sort of procedure is quite well-known, there have been some recent advances on which we wish to report here. We also discuss what has been established about the moduli spaces of all solutions to these problems, and report on some work in progress concerning global aspects of these moduli spaces. In the final section we present a new compactness result for the `unmarked moduli spaces' for problem III.

研究の動機と目的

• 既知の解を接合することで、非コンパクト幾何学的問題に対する新しい解の存在を確立すること。
• これらの非コンパクト幾何学的問題の解のモジュライ空間の構造と大域的性質を分析すること。
• 最近の接着技術の進展を、底面の多様体が非コンパクトであるような設定に拡張すること。
• 穴あき多様体上での定常正スカラー曲率の共形計量の文脈において、未マーク化モジュライ空間のコンパクト性を調査すること。
• 非コンパクトな設定における解空間の大域的位相的・幾何的性質を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 端部に沿って既知の解を接合することで新しい解を構成するため、特異性除去と漸近的接着の手法を適応・精緻化すること。
• 非コンパクト多様体上の重み付きソボレフ空間と楕円型理論を用いて、解の無限遠における挙動を制御すること。
• 初期の近似解の近傍での解の存在を示すために、重み付きバナッハ空間における逆写像定理を適用すること。
• モデル解の周囲での線形化作用素を分析し、非退化性を確認することで、接着が可能であることを保証すること。
• 穴あき多様体上のスカラー曲率問題に対して、漸近的解析と共形変形技術を用いること。
• 幾何学的および解析的推定に基づき、スカラー曲率問題の未マーク化モジュライ空間に関する新しいコンパクト性結果を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、非コンパクト幾何学的問題の既知の解を接合して新しい解を得られるか？
• RQ2 ℝ³における有限全曲率完全最小曲面問題の解のモジュライ空間の構造はいかなるものか？
• RQ3 ℝ³における有限トポロジー定常平均曲率曲面のモジュライ空間は、大域的にどのように振る舞うか？
• RQ4 Mⁿ\Λ 上の定常正スカラー曲率の共形計量の未マーク化モジュライ空間にどのようなコンパクト性特性が成り立つか？
• RQ5 標準的コンパクト性が成立しない非コンパクトな設定において、接着技術はどのように拡張可能か？

主な発見

• MⁿがコンパクトでΛが閉集合であるとき、Mⁿ\Λ 上の定常正スカラー曲率問題の未マーク化モジュライ空間に対して、新しいコンパクト性結果が確立された。
• ℝ³における有限全曲率完全最小曲面のモジュライ空間は、既知の解から新しい解を生成する接着構成を許容することが示された。
• ℝ³における有限トポロジー定常平均曲率曲面について、非退化性の仮定の下で、新しい解の存在が本稿で示された。
• 特に未マーク設定において、幾何学的および解析的制約の下で、スカラー曲率問題の解のモジュライ空間は良好に振る舞うことが示された。
• 接着法は、3つの問題すべてに成功裏に適用され、新しい解が得られるとともに、それらのモジュライ空間の大域的構造に関する洞察が得られた。
• 本稿では、接着プロセスが、結果の解における有限全曲率や有限トポロジーといった、重要な幾何学的・解析的性質を保存することが確認された。