[論文レビュー] Gluing formula for the stable cohomotopy version of Seiberg-Witten invariants along 3-manifolds with $b_1 > 0$

Hirofumi Sasahira|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界を持つ4次元多様体に対して安定コホモトピー版の Seiberg-Witten 不変量を構成する。3次元多様体 $Y$ に対して $b_1(Y) > 0$ かつ第一チャーン類が torsion で、三重カップ積形式 $q_Y$ が消える条件の下で、Seiberg-Witten-Floer 安定ホモトピー型を定義する。この結果、境界 $Y$ に沿った分解における相対不変量の合成として閉じた4次元多様体の不変量を計算するグリューニング公式を確立する。

ABSTRACT

We will define a version of Seiberg-Witten-Floer stable homotopy types for a closed, oriented 3-manifold $Y$ with $b_1(Y) > 0$ and a spin-c structure $\mathfrak{c}$ on $Y$ with $c_1(\mathfrak{c})$ torsion under an assumption on $Y$. Using the Seiberg-Witten-Floer stable homotopy type, we will construct a gluing formula for the stable cohomotopy version of Seiberg-Witten invariants of a closed 4-manifold $X$ which has a decomposition $X = X_1 \cup_Y X_2$ along $Y$.

研究の動機と目的

• 三重カップ積形式 $q_Y$ が消える条件の下で、$b_1(Y) > 0$ かつ $c_1(\mathfrak{c})$ が torsion である3次元多様体 $Y$ に対して、Seiberg-Witten-Floer 安定ホモトピー型を拡張する。
• 新しい安定ホモトピー型を用いて、境界が $Y$ である4次元多様体の相対不変量を定義する。
• $b_1(Y) > 0$ の場合における安定コホモトピー版 Seiberg-Witten 不変量のグリューニング公式を確立する。
• $U(1)$-equivariant 安定ホモトピー論を用いて、境界付き4次元多様体への Bauer-Furuta 不変量の一般化を達成する。
• 第一ベッチ数が非ゼロである3次元多様体に沿った分解による閉じた4次元多様体の不変量の計算フレームワークを提供する。

提案手法

• 三重カップ積形式 $q_Y = 0$ の下で、$b_1(Y) > 0$ かつ $c_1(\mathfrak{c})$ が torsion である3次元多様体 $Y$ に対して、スペクトルセクション $\mathbf{P}$ を用いて、Seiberg-Witten-Floer 安定ホモトピー型 $\operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P})$ を定義する。
• Melrose-Piazza のスペクトルセクション構成を用いて、$\operatorname{Ind}\mathbf{D}_{\mathfrak{c}} = 0$ が $K^1(\operatorname{Pic}(Y))$ 内で成り立つ場合（$q_Y = 0$ の下で成立）に $\mathbf{P}$ の存在を保証する。
• 4次元多様体 $X_1$ が境界 $Y$ を持つ場合、$\operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P})$ の $U(1)$-equivariant 安定ホモトピー群に属する相対不変量 $\psi_{X_1,\hat{\mathfrak{c}}_1,H,g,\mathbf{P}}$ を構成する。
• フローラインとインデックス対を用いた変形議論により、相対不変量の合成と閉じた4次元多様体上の総不変量との間のホモトピーを定義する。
• モノポールモジュライ空間のコンパクト性を用いて、小さな摂動と大きなカットオフの下でグリューニング写像が適切に定義されることを保証する。
• 連続的なホモトピー $H_u$ を用いて、相対不変量の積と総不変量との間の補間を構成し、指定された条件下で合成が元の不変量とホモトープであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $b_1 > 0$ かつ $c_1(\mathfrak{c})$ が torsion である3次元多様体に対して、Seiberg-Witten-Floer 安定ホモトピー型を拡張することは可能か？
• RQ2 $Y$ にどのような位相的条件を課すと、族 $\mathbf{D}_{\mathfrak{c}}$ のスペクトルセクションが存在するか？
• RQ3 $b_1(Y) > 0$ のとき、境界 $Y$ を持つ4次元多様体に対して相対不変量をどのように定義できるか？
• RQ4 $b_1(Y) > 0$ の場合における安定コホモトピー版 Seiberg-Witten 不変量のグリューニング公式は存在するか？
• RQ5 $Y$ に沿った相対不変量の合成は、閉じた4次元多様体 $X = X_1 \cup_Y X_2$ の総不変量を回復するか？

主な発見

• 閉じた向き付けられた3次元多様体 $Y$ に対して、$b_1(Y) > 0$、$c_1(\mathfrak{c})$ が torsion、$q_Y = 0$ を満たすとき、Seiberg-Witten-Floer 安定ホモトピー型 $\operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P})$ は適切に定義される。
• 条件 $q_Y = 0$ の下で、族 $\mathbf{D}_{\mathfrak{c}}$ のスペクトルセクション $\mathbf{P}$ の存在が保証され、構成が可能であることが保証される。
• 境界が $Y$ である4次元多様体 $X_1$ に対して、$\operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P})$ の $U(1)$-equivariant 安定ホモトピー群に属する相対不変量 $\psi_{X_1,\hat{\mathfrak{c}}_1,H,g,\mathbf{P}}$ が定義される。
• グリューニング公式が成立する：相対不変量 $\psi_{X_1,\hat{\mathfrak{c}}_1}$ と $\psi_{X_2,\hat{\mathfrak{c}}_2}$ の合成は、閉じた4次元多様体 $X = X_1 \cup_Y X_2$ 上の総不変量 $\psi_{X,\hat{\mathfrak{c}}}$ とホモトープである。
• フローラインとモノポールモジュライ空間のコンパクト性を用いて、連続的ホモトピー $H_u$ を構成し、相対不変量の積と総不変量との間の補間を実現する。
• 結果として、Manolescu のグリューニング公式が $b_1(Y) > 0$ の場合に一般化され、$b_1 = 0$ の場合に限らない安定コホモトピー版 Seiberg-Witten 理論が拡張された。