[論文レビュー] Golden Elliptical Orbits in Newtonian Gravitation

Dimitris M. Christodoulou|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ニュートン力学における $-1/r$ および $r^2$ ポテンシャルの下で、焦点距離が対応する摂動のない円軌道の半径に等しいという特徴を持つ、一意の楕円軌道のクラスを同定する。このような軌道は、黄金比の共役 $Φ^* \approx 0.618$ に関連する離心率を示し、幾何的構成ではなく、運動論的力学から自然に生じることを示し、基礎的な物理学とこの象徴的な数学定数との驚くべき関連を明らかにする。

ABSTRACT

In spherical symmetry with radial coordinate $r$, classical Newtonian gravitation supports circular orbits and, for $-1/r$ and $r^2$ potentials only, closed elliptical orbits [1]. Various families of elliptical orbits can be thought of as arising from the action of perturbations on corresponding circular orbits. We show that one elliptical orbit in each family is singled out because its focal length is equal to the radius of the corresponding unperturbed circular orbit. The eccentricity of this special orbit is related to the famous irrational number known as the golden ratio. So inanimate Newtonian gravitation appears to exhibit (but not prefer) the golden ratio which has been previously identified mostly in settings within the animate world.

研究の動機と目的

• ニュートン力学における摂動を受ける円軌道の族内に、特別な楕円軌道を同定すること。
• 黄金比の共役 $\varphi^* \approx 0.618$ が、幾何的構成ではなく、運動論的力学から自然に生じるかを特定すること。
• $-1/r$ または $r^2$ ポテンシャル内の楕円軌道が、特定の幾何的制約を通じて黄金比を示すかを調査すること。
• ニュートニアン系における黄金比の動的起源が、生物学的および宇宙論的文脈におけるその出現とどのように対比されるかを検討すること。

提案手法

• $-1/r$ および $r^2$ ポテンシャルにおけるエネルギー保存則と角運動量保存則を用いて、転送点と円軌道半径 $r_o$ 間の関係を導出すること。
• 焦点距離 $c$ が $r_o$ に等しいという条件を適用し、各ポテンシャル族内での特別な軌道を同定すること。
• $-1/r$ ポテンシャルに対しては方程式 $e^2 + e - 1 = 0$、$r^2$ ポテンシャルに対しては $e^4 + e^2 - 1 = 0$ を解き、$\varphi^*$ に関連する離心率を求める。
• 半通径 $p$ を導出し、$-1/r$ の場合に $c = p = r_o$ が成り立つことを確認すること。$r^2$ の場合に $c^2 = ab$ が成り立つことを示すこと。
• これらの軌道の幾何的性質を、数学および芸術分野における「黄金楕円」の既知の定義と比較すること。
• 系外惑星データベースを分析し、離心率が $\varphi^* \approx 0.618$ に近い軌道の実証的頻度を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートニアン重力は、離心率が正確に黄金比の共役 $\varphi^* \approx 0.618$ に等しい楕円軌道を生成するか？
• RQ2 $-1/r$ および $r^2$ ポテンシャル内において、摂動を受ける円軌道の族から特定の楕円軌道を唯一に特定する動的条件は何か？
• RQ3 焦点距離 $c = r_o$（焦点距離が円軌道半径に等しい）という条件が、どのように $\varphi^*$ に関連する一意の離心率を生じるか？
• RQ4 これらの黄金軌道は、$c = p$ や $c^2 = ab$ といった追加の幾何的不変量によって、他の楕円と区別可能か？
• RQ5 太陽系や系外惑星において、このような軌道が実証的に確認できるか？

主な発見

• $-1/r$ ポテンシャルでは、$c = r_o$ を満たす唯一の軌道の離心率は $e = \varphi^* \approx 0.618$ であり、$e^2 + e - 1 = 0$ を満たす。
• $r^2$ ポテンシャルでは、$c = r_o$ を満たす軌道の離心率は $e = \sqrt{\varphi^*} \approx 0.786$ であり、$e^4 + e^2 - 1 = 0$ を満たす。
• $-1/r$ ポテンシャルでは、$c = r_o$ の条件が $c = p$（$p$ は半通径）を意味し、この軌道は幾何学的に一意となる。
• $r^2$ ポテンシャルでは、$c = r_o$ の条件が $c^2 = ab$ を意味し、焦点距離が半長軸と半短軸の幾何平均に等しいことを示す。
• $-1/r$ ポテンシャルにおける黄金楕円は $b/a = \sqrt{\varphi^*}$ を満たし、黄金直角三角形による黄金楕円の定義と整合的である。
• 系外惑星データベースの分析により、離心率が $\varphi^* \approx 0.618$ に近い軌道の有意な頻度は認められず、観測系においてはこのような軌道に動的優位性がないことが示唆される。