[論文レビュー] Golden ratio algorithms for solving equilibrium problems in Hilbert spaces

Nguyen|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間における擬単調均衡問題を解くための新しい黄金比に基づくアルゴリズムを提案する。従来の外拡法（extragradient）手法が1反復あたり2つ以上の強い凸最適化部分問題を必要とするのに対し、本手法は1反復あたり1つの部分問題のみを必要とする。本手法は、双関数の連続性に関する仮定を弱めるなど、緩い条件下でも弱収束および強収束を達成し、数値実験において既存のアルゴリズムと比較して優れた計算効率を示す。

ABSTRACT

In this paper, we design a new iterative algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems in real Hilbert spaces. The advantage of our algorithm is that it requires only one strongly convex programming problem at each iteration. Under suitable conditions we establish the strong and weak convergence of the proposed algorithm. The results presented in the paper extend and improve some recent results in the literature. The performances and comparisons with some existing methods are presented through numerical examples.

研究の動機と目的

• 1反復あたり2つ以上の部分問題を解く必要がある従来の外拡法型アルゴリズムの高い計算コストを低減すること。
• 1反復あたり1つの強い凸最適化問題を解くことでのみ計算負担を軽減できる、ヒルバート空間における擬単調均衡問題のための新しい反復的アルゴリズムの開発。
• 従来の手法よりも弱い仮定のもとで収束結果（弱収束および強収束）を確立すること、特に双関数の連合弱下準連続性要件を緩和すること。
• 数値実験を通じて、提案アルゴリズムが既存の手法（GEA や Hieu のアルゴリズムなど）と比較して収束速度および計算時間の面で優れていることを示すこと。

提案手法

• 本手法は、最近の変分不等式に対する黄金比法を出発とし、新たな反復スキームを用いて均衡問題に適応したものである。
• 各反復で、次式の形の1つの強い凸最適化部分問題を解く：$ \alpha_k f(x^k, y) + \frac{1}{2}\|y - x^k\|^2 $ を $ y \in C $ について最小化する。ここで $ \alpha_k > 0 $ である。
• 収束を保証するために、$ \frac{1}{k+1} $ の割合で減少する緩和パラメータ $ \lambda_k $ を使用し、ラインサーチを必要としない。
• 収束性は、双関数 $ f $ に対する擬単調性および条件 (A5) としてのリプシッツ型条件のもとで証明され、強擬単調性が成り立つ場合には強収束が示される。
• 複数の投影操作や部分問題の解法を回避することで、計算複雑度が低減される。
• 本手法は、$ L^2([0,1]) $ を含む有限次元および無限次元の設定に適用され、そのロバストネスと効率性が検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1反復あたり1つの部分問題のみを必要とする均衡問題ソルバーを設計できるか。これにより、外拡法型手法と比較して計算コストを著しく低減できるか。
• RQ2 提案された黄金比アルゴリズムは、双関数の連合弱下準連続性要件を緩めた仮定のもとでも収束するか。
• RQ3 収束速度および計算時間の観点から、GEA や Hieu のアルゴリズムといった既存手法と比較して、本アルゴリズムの性能はどのように異なるか。
• RQ4 双関数が強擬単調である場合、連続性条件を緩くした状況でも、本アルゴリズムは強収束を維持できるか。
• RQ5 本アルゴリズムは、$ L^2([0,1]) $ のような無限次元ヒルバート空間でも数値的に安定かつ効率的か。

主な発見

• 提案アルゴリズム（GRA2）は、擬単調性およびリプシッツ型条件（A5）のもとで、連合弱下準連続性を要件としない条件下でも、擬単調均衡問題に対して弱収束を達成する。
• 双関数が強擬単調である場合には強収束が確立され、数値例では強擬単調性パラメータ $ \gamma = \frac{1}{2} $ に依存する収束速度が得られる。
• 例6.1では、GRA2は初期点 $ x^0 = \frac{1}{200}(\sin(-3t) + \cos(-10t)) $ に対して83反復、0.0065秒で収束し、Hieu や Popov のアルゴリズムを時間的および反復回数の両面で上回った。
• 例6.2では、GRA2は初期点 $ x^0 = \frac{1}{85}(t^3 + 1)e^{5t} $ に対して83反復、0.0065秒で収束し、3つのテスト手法の中で最良の性能を示した。
• 複数のテストケースにわたる数値結果から、本アルゴリズムは有限次元および無限次元の両設定において、計算時間および反復回数の面で一貫した優位性を示した。
• 数値結果は、双関数が単調でも強く単調でもない場合でも、擬単調性およびリプシッツ型条件（A5）を満たしていれば、本アルゴリズムがロバストかつ効果的であることを確認している。