[論文レビュー] Gonality of the modular curve $X_0(N)$

Filip Najman, Petar Orlić|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$N < 145$ におけるすべてのモジュラー曲線 $X_0(N)$ について $ℚ$-ゴノリティおよび $ℂ$-ゴノリティを決定し、より大きな $N$ に対しても結果を拡張し、$ℚ$ 上でゴノリティ 4, 5, 6 であるすべての $X_0(N)$ を同定する。$ℂ$ 上でペンタゴナルな曲線の例として、$N = 97$ および $169$ の場合に、初めて知られる例を提供し、$ℚ$ 上で低ゴノリティのモジュラー曲線を完全に分類し、有理点が少ないモジュラー曲線の分類における長年の空白を解消する。

ABSTRACT

In this paper we determine the $\mathbb Q$-gonalities of the modular curves $X_0(N)$ for all $N&lt;145$. We determine the $\mathbb C$-gonality of many of these curves and the $\mathbb Q$-gonalities and $\mathbb C$-gonalities for many larger values of $N$. Using these results and some further work, we determine all the modular curves $X_0(N)$ of gonality $4$, $5$ and $6$ over $\mathbb Q$. We also find the first known instances of pentagonal curves $X_0(N)$ over $\mathbb C$.

研究の動機と目的

• すべての $N < 145$ に対して $X_0(N)$ の $ℚ$-ゴノリティおよび $ℂ$-ゴノリティを決定し、可能な限りより大きな $N$ にまで拡張する。
• $ℚ$ 上で四角的、五角的、六角的であるすべてのモジュラー曲線 $X_0(N)$ を分類し、モジュラー曲線における次数 $d$ の点に関する重要な算術的問題を解決する。
• $ℂ$ 上で五角的であるモジュラー曲線 $X_0(N)$ の最初の既知の例を特定し、文献における顕著な空白を埋める。
• $X_0(N)$ の正確なゴノリティデータを提供し、LMFDBデータベースおよび今後のモジュラー曲線の算術的研究を支援する。
• $X_0(N)$ に特化した計算技法を開発・適用し、自然な平面モデルの欠如やモジュラー単位の不足といった課題を克服する。

提案手法

• 著者たちは、$N$ が高度に合成的である場合に $X_0(N)$ に多くの対合が存在することを活用し、群作用解析、モジュラー単位、および $ℑ^1$ への有理写像を組み合わせることで $ℚ$-ゴノリティを計算する。
• 彼らは、モジュラーパラメトライゼーションとヘッケ作用素を用いて明示的な有理写像を構成することでゴノリティの上界を導出し、種数とクリフォードの定理を用いて下界を導出する。
• $ℂ$-ゴノリティに関しては、代数幾何学の結果、特にカステルヌオヴォ–セヴィリの上限および三角的・四角的曲線の既知の分類を適用する。
• 彼らは計算代数システムを用いて函数体を解析し、特に $d = 4,5,6$ に対して、有界な次数の有理関数の存在を検証することで、$d$-次写像の存在を検証する。
• 彼らは $X_1(N)$ および $X_0(N)$ に関する先行研究と比較し、デリックスとヴァン・ホイジの手法を参考にしつつも、$X_0(N)$ における尖点およびモジュラー単位の少なさを考慮してそれらを修正する。
• 彼らは既知の双曲的、三角的、四角的 $X_0(N)$ の分類と整合性を確認し、アブラモビッチの境界を用いて推定値を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのモジュラー曲線 $X_0(N)$ が $ℚ$ 上で四角的であり、そのような $N$ の完全なリストは何か？
• RQ2 $ℂ$ 上で五角的であるモジュラー曲線 $X_0(N)$ の既知の例は存在するか？もしあるならば、どの $N$ に対してか？
• RQ3 $ℚ$ 上でゴノリティ 5 および 6 である $X_0(N)$ の完全な分類は何か？
• RQ4 $X_0(N)$ の $ℚ$-ゴノリティと $ℂ$-ゴノリティの関係は何か？また、どのような場合にそれらが異なるか？
• RQ5 自然な平面モデルの欠如やモジュラー単位の不足にかかわらず、$X_0(N)$ のゴノリティを決定するための効果的な計算技法を開発できるか？

主な発見

• 本稿は、$ℚ$ 上でゴノリティ 4 である $X_0(N)$ を完全に分類し、$X_0(N)$ が $ℚ$ 上で四角的であるための必要十分条件が、$N$ が集合 $\{38,42,44,51,52,53,55,56,57,58,60,61,62,63,65,66,67,68,69,70,72,73,74,75,77,78,79,80,83,85,87,88,89,91,92,94,95,96,98,100,101,103,104,107,111,119,121,125,131,142,143,167,191\}$ に属する場合に限ることを示す。
• 本稿は、$ℚ$ 上で五角的である唯一の $X_0(N)$ として $X_0(109)$ を特定し、このような曲線の存在について長年の未解決問題を解決する。
• 本稿は、$ℂ$ 上で五角的である $X_0(N)$ の最初の既知の例を提示し、特に $N = 97$ および $N = 169$ の場合に該当する。これは、ゴノリティによるモジュラー曲線の分類において顕著な進展をもたらす。
• $ℚ$ 上でゴノリティ 6 である場合、$N$ の完全なリストが提供され、$76,82,84,86,90,93,97,99,108,112,113,115-118,122-124,127-129,135,137,139,141,144,146,147,149,151,155,159,162,164,169,179,181,215,227,239$ を含む。
• 著者たちは、$N < 145$ であるすべての $X_0(N)$ について $ℚ$-ゴノリティおよび $ℂ$-ゴノリティを計算・文書化し、多くのより大きな $N$ についても境界を提供し、LMFDBデータベースにおける既知のデータを著しく拡張する。
• 本研究は、すべての $X_0(N)$ に対して $ℚ$-ゴノリティが $ℂ$-ゴノリティ以下であることを確認し、たとえば $N = 169$ の場合に $ℚ$-ゴノリティが 6、$ℂ$-ゴノリティが 5 であるなど、両者が異なるケースを同定する。