[論文レビュー] Good reduction and cyclic covers

Ariyan Javanpeykar, Daniel Loughran+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 85被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、巡回被覆とモジュライスタックを用いて、有限個の場所を除き良い還元を持つ多様体の有限性結果を確立する。被覆の分岐除集合のスタックへの自然な準同型が、基底スタックの有限エタール被覆上での正則かつエタールであることを示すことにより、著者たちは、重み付き射影曲面、アーベル多様体の二重被覆、および高余次元の超曲面を含む、シャファレヴィチ予想の新しいケースを、スタック版のチエヴァレフ＝ヴェイルの定理を用いて得る。

ABSTRACT

We prove finiteness results for sets of varieties over number fields with good reduction outside a given finite set of places using cyclic covers. We obtain a version of the Shafarevich conjecture for weighted projective surfaces, double covers of abelian varieties, and reduce the Shafarevich conjecture for hypersurfaces to the case of hypersurfaces of high dimension. These are special cases of a general set-up for integral points on moduli stacks of cyclic covers, and our arithmetic results are achieved via a version of the Chevalley-Weil theorem for stacks.

研究の動機と目的

• 曲線を超える新しいクラスの多様体へのシャファレヴィチ予想の拡張。
• 代数閉でない体上での超曲面への巡回被覆を定義する際のスカラーの曖昧さを、モジュライスタック枠組みで解消すること。
• 巡回被覆のスタックから分岐除集合の基底スタックへの準同型が正則かつエタールであることを証明し、スタック上の整数点の有限性を可能にすることで、良い還元を持つ多様体の同型類の有限性を実現すること。
• 重み付き射影曲面およびアーベル多様体の二重被覆に対するシャファレヴィチ予想の新しいケースを確立すること。
• 一般の超曲面に対するシャファレヴィチ予想を、幾何学的に単純なFano超曲面（r ≤ n）のケースに還元すること。

提案手法

• 良い還元を持つ多様体を一様にパラメトライズするため、巡回被覆のモジュライスタックを用い、超曲面方程式におけるスカラーの曖昧さを回避する。
• 次数rの巡回被覆のスタックから分岐除集合を持つ基底多様体のスタックへの自然な準同型が正則かつエタールであることを証明し、チエヴァレフ＝ヴェイルの定理をスタックに一般化する。
• スタック版チエヴァレフ＝ヴェイルの定理を適用して、モジュライスタック上の整数点の有限性を導出し、それが良い還元を持つ多様体の同型類の有限性を意味することを示す。
• フェルマー風の降下技法を用いて、特に超曲面およびアーベル多様体のケースにおいて、巡回被覆とその分岐集合を関連付ける。
• S整数環上での議論により良い還元をモデル化し、スパイラル展開とモデル還元を用いて、数体上での有限性定理を適用する。
• アーベル多様体の二重被覆の明示的モジュライスタックを構成し、それが算術的ハイパボリックであることを示し、同型類の有限性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面に対するシャファレヴィチ予想は、Fano超曲面（r ≤ n）のケースに還元可能か？
• RQ2 固定されたrと有限集合Sに対して、整数環上、P(1,1,1,r)内の次数2rの滑らかで重み付き射影曲面は、S整数点を有限個しか持たないか？
• RQ3 与えられた幾何的 genus と次元を持つアーベル多様体の二重被覆のモジュライスタックは、算術的ハイパボリックか？
• RQ4 被覆の分岐除集合の基底スタック上の除集合対に対する次数rの巡回被覆のスタックは、基底スタックの有限エタール被覆上での正則かつエタールな準同型を持つか？
• RQ5 巡回被覆のスタック上の整数点の有限性を用いて、シャファレヴィチ予想の新しいケースを証明できるか？

主な発見

• 数体上のP^{n+1}内の次数rの滑らかな超曲面に対するシャファレヴィチ予想は、次元nで成り立つならば、すべての次元m ≤ nで成り立つことが保証され、高次元のケースへの還元が可能である。
• 2 ∈ A× を満たす整数的閉でZ-有限な環A上のP(1,1,1,r)内の次数2rの滑らかな曲面のモジュライスタックは、A-同型類を有限個しか持たない。これはシャファレヴィチ予想の新しいケースを証明する。
• g = 2 または g ≥ 4 のとき、幾何的 genus p のアーベル多様体の二重被覆のモジュライスタック G_{g,p} は算術的ハイパボリックであり、S整数環上での同型類の有限性を示唆する。
• 除集合対上の次数rの巡回被覆のスタックは、分岐除集合の基底スタックの有限エタール被覆上での正則かつエタールである。これは重要な幾何的結果である。
• アーベル多様体の二重被覆のスタックは、アーベルスキームのトーラス上の次数2の巡回被覆のスタックと同値であり、この同値性は、極小化されたアーベル多様体のモジュライスタック上でも正則かつエタールである。
• スタック G_{g,p} から極小化されたアーベル多様体の型 (g, 2g(p−1)) のモジュライスタックへの準同型は正則かつエタールであり、スパイラル展開と整数点の議論により有限性が保証される。