[論文レビュー] Good Reduction of Periodic Points

Benjamin Hutz|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所体上の射影的多様体上の自己準同型の反復における周期点の原始的周期の上限を確立し、P¹上の有理写像に関する古典的結果を一般化する。基本体上の周期は、残留体上の周期と等しいか、その倍数であり、乗数は余接空間への作用と残留標数によって決定され、良い還元のもとで周期点に対する有効な一様上限が得られる。

ABSTRACT

We consider the dynamical system created by iterating a morphism of a projective variety defined over the field of fractions of a discrete valuation ring. We study the primitive period of a periodic point in this field in relation to the primitive period of the reduced point in the residue field, the order of the action on the cotangent space, and the characteristic of the residue field.

研究の動機と目的

• P¹から高次元の射影的多様体への力学系における周期点の既知の上限を拡張すること。
• 離散付値環の最大イデアルに関する還元におけるK-有理周期点の原始的周期が、その還元とどのように関係するかを理解すること。
• 良い還元のもとで、高次元多様体への周期点の原始的周期に対する有効な上界を確立し、有理写像からの一般化を行うこと。
• 還元における周期増加に際して、余接空間への作用と残留標数が果たす役割を分析すること。
• エタール自己準同型の場合、多様体が滑らかでなくても、あるいは既約でなくても、周期が有界であることを示すこと。

提案手法

• 局所体Kの整数環R上の滑らかかつ固有なモデルを用いて、射影的多様体X/Kおよび自己準同型φ:X→Xの良い還元を定義する。
• 還元写像を用いて、X(K)内の周期点とその特別ファイバーX×kへの像との関係を関係づけ、還元点の原始的周期mを分析する。
• 周期点の軌道におけるφ^mの余接空間への作用を分析し、φ-安定な部分空間V（その位数をr_Vとする）を同定する。
• p進付値と二項係数を用いて、繰り返しの付値の増加に関する再帰的不等式を導出する。
• p=2の場合にはフィボナッチ型再帰関係を、p≠2の場合には指数関数的増加を用いて、周期式n = m r_V p^eにおける指数eの上限を求める。
• 軌道スキームとその特別ファイバーの構造を用いて、余接部分空間Vの次元d′と上界(Nπ)^{d′}−1との関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K-有理周期点の原始的周期は、離散付値環の最大イデアルに関する還元の原始的周期とどのように関係するか？
• RQ2 還元における周期増加を決定づける要因として、周期点の軌道の余接空間への自己準同型の作用は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ3 良い還元のもとで、高次元射影的多様体上の周期点の原始的周期に対して有効な上界を確立できるか？
• RQ4 残留標数pが周期増加に与える影響、特にp=2の場合にどのように現れるか？
• RQ5 滑らかでない、あるいは可約な多様体に対しても、特にエタール自己準同型の場合に、上限をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• K-有理周期点の原始的周期nは、n = m r_V p^eの形をとり、ここでmは還元周期、r_Vは余接空間のφ-安定部分空間への誘導写像の位数、e ≥ 0である。
• p ≠ 2の場合、指数eはe ≤ 1 + log₂(v(p))を満たす。p = 2の場合、e ≤ 1 + log_α( (sqrt(5)v(2) + sqrt(5v(2)² + 4))/2 ) であり、ここでα = (1+√5)/2である。
• Q上で作業する場合、p ≠ 2では指数eは1で、p = 2では3で有界である。
• 多様体の次元をdとすると、p ≠ 2の場合にはn ≤ p^{d+1}(p^d − 1)、p = 2の場合にはn ≤ 2^{d+3}(2^d − 1)が成り立つ。
• エタール自己準同型の場合、多様体が滑らかでなくても、あるいは既約でなくても、自己準同型が良い還元を持つ滑らかで既約な成分を安定化する限り、周期は有界である。
• 次数dの形式によって定義される多様体の既約成分の数の上限（≤ d^N）は、良い還元のもとで可能な周期の数が有限であることを示唆する。