[論文レビュー] Good Sections of Arithmetic Fundamental Groups

Mohamed Saı̈di|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、算術的基本群の（一様に）良いセクションの概念を導入し、特異化を介してグローテンディークのアーベル化セクション予想をその双有理的バージョンに還元する枠組みを確立する。一様に良いセクションが特異化アーベル的ガロア群のセクションに引き上げられることを証明し、ジャコビアンのテート＝シャファレヴィチ群の有限性を仮定したもとで、プロ-$p$ $p$-進版の予想を証明する。

ABSTRACT

In this paper we exhibit the notion of (uniformly) good sections of arithmetic fundamental groups. We introduce and investigate the problem of cuspidalisation of sections of arithmetic fundamental groups, its ultimate aim is to reduce the solution of the Grothendieck anabelian section conjecture to the solution of its birational version. We show that (uniformly) good sections of arithmetic fundamental groups of smooth, proper, and geometrically connected hyperbolic curves over slim (and regular) fields can be lifted to sections of cuspidally abelian absolute Galois groups. As an application we prove a (pro-p) p-adic version of the Grothendieck anabelian section conjecture for hyperbolic curves, under the assumption that the existence of sections of arithmetic fundamental groups, and cuspidally abelian Galois groups, implies the existence of tame points. We also prove that the existence of uniformly good sections of arithmetic fundamental groups for hyperbolic curves over number fields implies the existence of divisors of degree 1, under a finiteness condition of the Tate-Shafarevich group of the jacobian of the curve.

研究の動機と目的

• グローテンディークのアーベル化セクション予想をその双有理的バージョンに還元するため、算術的基本群の（一様に）良いセクションの理論を構築すること。
• 群論的セクションと有理点を結びつけることを目的とした、算術的基本群のセクションに関する特異化問題の調査。
• セクションが単純な点を示すと仮定したもとで、グローテンディークのアーベル化セクション予想のプロ-$p$ $p$-進版を確立すること。
• 数体上の一様に良いセクションが、ジャコビアンのテート＝シャファレヴィチ群の有限性を仮定したもとで、次数1の除数の存在を示すこと。

提案手法

• 連続的な群論的セクション $ s: G_k \to \tilde{\rho}_1(X) $ として、算術的基本群の（一様に）良いセクションの概念を導入し、特異化アーベル的絶対ガロア群のセクションに引き上げられることを示す。
• 特に、ペアリング $ <,> : \text{Pic}(X)^{\text{wedge},\bar{\rho}} \times T_{\bar{\rho}}\text{Br}(X) \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ を用いたコホロロジー的技法を用い、セクションとブラウアー類を関連付ける。
• セクション $ s $ 沿いのコホモロジー類の引き戻しにより、制限写像 $ s^*: H^2(X, M_X) \to H^2(G_k, M_X) $ を適用し、これをペアリング $ \text{Pic}(X)^{\text{wedge},\bar{\rho}} \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ と同一視する。
• セクションのチャーン類 $ c(s) \to H^2(X, M_X) $ 及びその $ T_{\bar{\rho}}\text{Br}(X) $ への像を用いて、準同型 $ \bar{\rho} \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ を定義する。
• exact sequence を用いて $ \text{Pic}(X)^{\text{wedge},\bar{\rho}} $, $ H^2(X, M_X) $, $ T_{\bar{\rho}}\text{Br}(X) $ の構造を分析する。
• ペアリング $ <,>_n $ の射影極限を用いて、グローバルペアリング $ <,>: \text{Pic}(X)^{\text{wedge},\bar{\rho}} \times T_{\bar{\rho}}\text{Br}(X) \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ を定義し、主結果に不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローテンディークのアーベル化セクション予想は、良いセクションの理論を用いて、特異化を介してその双有理的バージョンに還元可能か。
• RQ2 一様に良いセクションが、特異化アーベル的ガロア群のセクションに引き上げられる条件は何か。
• RQ3 数体上の一様に良いセクションの存在は、テート＝シャファレヴィチ群の有限性を仮定したもとで、次数1の除数の存在を示唆するか。
• RQ4 ブラウアー類およびピカール群を用いたコホモロジー的特徴付けとして、算術的基本群のセクションはどのように特徴づけられるか。
• RQ5 ペアリング $ <,> $ と制限写像 $ s^* $ の関係は何か。

主な発見

• 滑らかで、固有で、幾何学的に連結な双曲的曲線の算術的基本群の、スリムで正則な体上の（一様に）良いセクションは、特異化アーベル的絶対ガロア群のセクションに引き上げられる。
• 本稿では、セクションが単純な点を示すと仮定したもとで、グローテンディークのアーベル化セクション予想のプロ-$p$ $p$-進版を証明する。
• 数体上の一様に良いセクションの存在は、曲線のジャコビアンのテート＝シャファレヴィチ群が有限であると仮定したもとで、次数1の除数の存在を示す。
• 制限写像 $ s^*: H^2(X, M_X) \to H^2(G_k, M_X) $ は、セクションのチャーン類を介して定義されるペアリング $ \text{Pic}(X)^{\text{wedge},\bar{\rho}} \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ と一致する。
• 自然なペアリング $ <,>_n: \text{Pic}(X)/n\text{Pic}(X) \times T_{\bar{\rho}}\text{Br}(X) \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ は射影極限と整合的であり、グローバルペアリング $ <,>: \text{Pic}(X)^{\text{wedge},\bar{\rho}} \times T_{\bar{\rho}}\text{Br}(X) \to T_{\bar{\rho}}\text{Br}(k) $ を与える。
• コホモロジー類 $ ([\bar{\rho}].\bar{\rho})_n $ はすべての $ n $ に対して消える、すなわち $ ([\bar{\rho}].\bar{\rho})_n = 0 $ である。これは、$ H^2(G_k, \bar{\rho}_n) $ 内の拡張類の自明性に不可欠である。