[論文レビュー] Goodness-of-fit testing based on a weighted bootstrap: A fast large-sample alternative to the parametric bootstrap

Ivan Kojadinovic, Jun Yan|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2012

Forecasting Techniques and Applications参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックブートストラップの計算コストが高いために、大標本において高速な代替手法を提案する。この手法は、推定モデルからの再サンプリングを避ける重み付きブートストラップ（マルチプライヤーブートストラップ）を用いる。この方法は、特に高次元や多くのパラメータを含む場合に顕著な計算コストの削減を実現しながら、同等の検出力を持つ。モンテカルロ実験および3変量の金融データへの応用を通じて妥当性が検証された。

ABSTRACT

The process comparing the empirical cumulative distribution function of the sample with a parametric estimate of the cumulative distribution function is known as the empirical process with estimated parameters and has been extensively employed in the literature for goodness-of-fit testing. The simplest way to carry out such goodness-of-fit tests, especially in a multivariate setting, is to use a parametric bootstrap. Although very easy to implement, the parametric bootstrap can become very computationally expensive as the sample size, the number of parameters, or the dimension of the data increase. An alternative resampling technique based on a fast weighted bootstrap is proposed in this paper, and is studied both theoretically and empirically. The outcome of this work is a generic and computationally efficient multiplier goodness-of-fit procedure that can be used as a large-sample alternative to the parametric bootstrap. In order to approximately determine how large the sample size needs to be for the parametric and weighted bootstraps to have roughly equivalent powers, extensive Monte Carlo experiments are carried out in dimension one, two and three, and for models containing up to nine parameters. The computational gains resulting from the use of the proposed multiplier goodness-of-fit procedure are illustrated on trivariate financial data. A by-product of this work is a fast large-sample goodness-of-fit procedure for the bivariate and trivariate t distribution whose degrees of freedom are fixed.

研究の動機と目的

• 標本サイズ、パラメータ数、次元が増加する際のパラメトリックブートストラップの高い計算コストに対処すること。
• パラメトリックブートストラップの代替として、計算が効率的で大標本に適した重み付きブートストラップ（マルチプライヤーブートストラップ）手法を開発すること。
• 標本サイズ、次元（1〜3）、最大9パラメータのモデルのさまざまな条件下で、重み付きブートストラップとパラメトリックブートストラップの検出力の同等性を評価すること。
• 固定自由度をもつ多変量スチューデントt分布の適合度検定のための高速で汎用的な手順を提供すること。

提案手法

• 推定パラメータを伴う経験過程の漸近的線形化に基づくマルチプライヤーブートストラップ手順を提案し、モデルからの再サンプリングを正規過程からの再サンプリングに置き換える。
• マルチプライヤー中心極限定理を用いて、帰無仮説下での検定統計量の分布を近似し、パラメトリックモデルからの繰り返しシミュレーションを回避する。
• 位置、スケール、相関パラメータに関して、多変量t分布のCDFおよびPDFの明示的な勾配式を導出することで、帰無仮説下での検定統計量の計算を効率化する。
• 独立同一分布に従う標準正規乱数を生成し、推定影響関数を用いて重みを付けることで、重み付きブートストラップを実装する。これにより、モデル分布からのコストの高いシミュレーションを回避する。
• 得られたブートストラップ再現値を用いて、経験的分位数によるp値を計算する。計算複雑度はモデルのシミュレーションに依存しない。
• 実際の応用として、3変量の金融データにこの手法を適用し、計算上の利点と実用可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きブートストラップがパラメトリックブートストラップと同等の検出力を達成するには、どの程度の標本サイズが必要か？
• RQ2 高次元または高パラメータ数のモデルにおいて、重み付きブートストラップはパラメトリックブートストラップの計算効率の良い代替手段として機能できるか？
• RQ3 多変量設定において、重み付きブートストラップはパラメトリックブートストラップに比べてどの程度の計算コストの削減が達成できるか？
• RQ4 固定自由度をもつ多変量t分布に対して、重み付きブートストラップは正確なサイズと検出力を維持するか？
• RQ5 さまざまな次元およびパラメータ数において、重み付きブートストラップとパラメトリックブートストラップの経験的第一種過誤と検出力の結果はどのように比較されるか？

主な発見

• 標本サイズが中程度に大きい場合、重み付きブートストラップはパラメトリックブートストラップと同等の検出力を達成する。1〜3次元および最大9パラメータのモデルにおいて、シミュレーションで同等性が確認された。
• 広範なモンテカルロ実験の結果、重み付きブートストラップは、パラメトリックブートストラップが実行不能になる高次元設定においても、正確な経験的サイズと検出力を維持している。
• 計算コストを顕著に削減する。パラメトリックブートストラップでは、各ブートストラップ再現に対してN回のモデルからのシミュレーションが必要であるが、重み付きブートストラップでは、これに代えて独立同一標準正規乱数と影響関数を用いるため、このコストを回避する。
• 3変量の金融データに対して、提案手法はパラメトリックブートストラップに比べて計算時間を数桁以上短縮し、実用的な応用を可能にした。
• 固定自由度をもつ2変量および3変量t分布の適合度検定のための高速で大標本の手順が、CDFおよびPDFの解析的勾配を用いることで副次的に開発された。
• 理論的裏付けとして、マルチプライヤー中心極限定理を用い、重み付きブートストラップが推定パラメータを伴う経験過程の帰無分布を漸近的に再現することを示した。