[論文レビュー] Goodness-of-fit testing for the Cauchy distribution with application to financial modeling

M. Mahdizadeh, Ehsan Zamanzade|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、カルシウム分布に対するKullback-Leibler情報発散の基盤に基づく、中央値および四分位範囲を用いたパラメータ推定を伴う6つの新しい適合度検定を提案する。これらの検定は一貫性を有し、対称的代替仮説を検出する際、コルモゴロフ=スミルノフ検定やアンダーソン=ダーリング検定といった従来手法を上回る性能を示す。特に $ Z_A $ および $ \tilde{D}_2 $ の変種は、シミュレーションおよび実際の金融市場データへの応用において優れた検出力を持つ。

ABSTRACT

This article deals with goodness-of-fit test for the Cauchy distribution. Some tests based on Kullback-Leibler information are proposed, and shown to be consistent. Monte Carlo evidence indicates that the tests have satisfactory performances against symmetric alternatives. An empirical application to quantitative finance is provided.

研究の動機と目的

• コーシー分布は、その重い尾部の特性から金融モデリングで頻繁に使用されるが、その適合度検定を一貫的に開発すること。
• 標準的推定法（例：最尤推定）が複雑であり、モーメントが存在しないコーシー分布におけるパラメータ推定の課題に対処すること。
• Kullback-Leibler発散などの情報理論的測度を活用することで、既存の検定（例：コルモゴロフ=スミルノフ検定、アンダーソン=ダーリング検定）を改善すること。
• モンテカルロシミュレーションを用いて、t分布やラプラス分布などのさまざまな対称的代替仮説に対する新検定の検出力を評価すること。
• 具体的にはドイツDAX指数の日次リターンデータを用いて、実際の金融データへの応用可能性を検証すること。

提案手法

• 実証的分布関数と理論的累積分布関数の間のKullback-Leibler（KL）情報発散に基づく、6つの新しい検定統計量を提案する。
• コーシー分布では原点モーメントが存在しないため、位置（$ \tilde{\nu} $）およびスケール（$ \tilde{\tau} $）パラメータの推定に中央値および四分位範囲を用いる。
• 間隔と実証的分布関数を用いたKL発散の近似を用いて、検定統計量 $ Z_K $, $ Z_A $, $ Z_C $, および $ \tilde{D}_i $（$ i=1 $ から $ 7 $）を導出する。
• 5つの標本サイズ（$ n=10, 20, 30, 50, 100 $）と9つの代替分布を用いたモンテカルロシミュレーションにより、検出力および第一種の誤り率を評価する。
• 実際のデータセット（1991年1月1日から30日分のDAX終値リターン）に検定を適用し、Q-Qプロットとヒストограмと密度推定の重ね合わせを用いて適合度を視覚的に評価する。
• 既存の表（例：表2）からの臨界値と比較して、帰無仮説（コーシー分布への適合）が棄却されるかどうかを判断する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的代替仮説下で、コーシー分布に対するKLベースの適合度検定は、古典的手法（コルモゴロフ=スミルノフ検定、アンダーソン=ダーリング検定）と比較してどの程度検出力に優れているか？
• RQ2 Kullback-Leibler発散などの情報理論的発散測度をコーシー分布に適用することで、一貫的かつ強力な適合度検定を得られるか？
• RQ3 特に重い尾部の性質を捉える能力に優れるとして、実際の金融リターンデータに適用した場合、提案手法の性能はいかがなものか？
• RQ4 提案された検定統計量（$ Z_K $, $ Z_A $, $ \tilde{D}_i $）の中で、さまざまな対称的代替仮説および標本サイズにおいて、どの統計量が最大の検出力を示すか？
• RQ5 真の分布がコーシー分布から逸脱している場合、特に小標本において、新しい検定は第一種の誤り率を適切に維持し、ロバスト性を示すか？

主な発見

• 特に $ Z_A $ および $ \tilde{D}_2 $ が、対称的代替仮説下でコルモゴロフ=スミルノフ検定やアンダーソン=ダーリング検定を一貫して上回る性能を示す。
• $ t_3 $, $ t_5 $, 標準正規分布、ラプラス分布、ロジスティック分布などの対称的代替仮説に対して、$ Z_A $ および $ \tilde{D}_2 $ の検出力は、他の検定を最大で0.367のタイプIIエラー率の差で上回る（標本サイズ50のとき）。
• 一般的に $ Z_A $ はすべての競合検定の中で最も検出力が高く、標本サイズ10を除くすべての状況で優位である。
• 真の分布が非対称な場合（例：非心t分布（0.3, 0.7）やチューキーのt分布）、検定は著しく劣る。標本サイズ100でも検出力の向上は顕著ではなく、特に差がつかない。
• 実際のDAXリターンデータ（$ n=30 $）では、14のすべての検定（新規のKLベース検定を含む）が有意水準0.05で帰無仮説（コーシー分布への適合）を棄却しない。観測された検定統計量（例：$ Z_C = 5.761 $）は臨界値を下回っている。
• 実証的コーシーQ-Qプロットと密度をフィットさせたヒストограмの重ね合わせは、モーメントが存在しないにもかかわらず、金融リターンに対するコーシーモデルの妥当性を支持する。