[論文レビュー] Goodwillie's calculus and model categories

Georg Biedermann, Boris Chorny+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単体的集合から単体的集合およびスペクトルへの関手に対して局所化されたモデル構造を構成し、グッドウィルの微分積分法における多項式関手および同次関手の refined 分類を可能にする。本稿は、有限的（finitary）$n$-同次関手と$Σ_n$-作用を伴うスペクトルの間でクィレン同値性を確立し、2種類の異なる局所化法を用いて有限的条件を統合することで、グッドウィルの分類を強化する。

ABSTRACT

The category of small covariant functors from simplicial sets to simplicial sets supports the projective model structure. In this paper we construct various localizations of the projective model structure and also give a variant for functors from simplicial sets to spectra. We apply these model categories in the study of calculus of functors, namely for a classification of polynomial and homogeneous functors. In the $n$-homogeneous model structure, the $n$-th derivative is a Quillen functor to the category of spectra with $\Sigma_n$-action. After taking into account only finitary functors -- which may be done in two different ways -- the above Quillen map becomes a Quillen equivalence. This improves the classification of finitary homogeneous functors by T. G. Goodwillie.

研究の動機と目的

• 単体的集合から単体的集合およびスペクトルへの関手に対する局所化されたモデル構造の構築。
• これらのモデル構造を用いた多項式関手および同次関手の分類。
• クィレン同値性を用いて、有限的同次関手のグッドウィル分類を精緻化すること。
• $n$-同次モデル構造内での有限的関手への制限のための2つの異なる方法の比較。
• $n$-階微分関手が有限的制限を施した後、クィレン同値性となることを確立すること。

提案手法

• 単体的集合から単体的集合への小規模な共変関手に対する射影的モデル構造の構築。
• 多項式関手および同次関手を分離するために射影的モデル構造の局所化を導入。
• 単体的集合からスペクトルへの関手に対しても同様の構成を適応し、スペクトル値の$ n $-階微分を可能にする。
• $n$-同次モデル構造内での有限的関手への制限のための2つの異なる局所化手順を定義。
• $n$-階微分関手が$Σ_n$-作用を伴うスペクトルの圏へのクィレン関手であることを示す。
• いずれの方法を用いても有限的制限を施した後、クィレン関手がクィレン同値性に変わるのを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グッドウィル微分積分法における多項式関手および同次関手の分類のために、モデル構造をどのように局所化できるか？
• RQ2 有限的関手は、$n$-同次関手の分類を精緻化するために果たす役割は何か？
• RQ3 有限的関手に制限した場合、$n$-階微分関手をクィレン同値性へと強化できるか？
• RQ4 有限的関手への制限のための2つの異なる方法は、$n$-同次設定において同等のモデル構造をもたらすか？
• RQ5 この枠組みにおいて、$Σ_n$-equivariant 構造はどのように$ n $-階微分から自然に生じるか？

主な発見

• $n$-階微分関手は$Σ_n$-作用を伴うスペクトルの圏に値をとり、この割り当てはクィレン関手である。
• 2種類の異なる方法による有限的制限を施した後、$n$-階微分関手はクィレン同値性となる。
• 局所化された$n$-同次モデル構造は、$n$-同次関手の完全な分類フレームワークを提供する。
• 有限的制限のための2つの異なるアプローチは、同等のクィレン同値性をもたらし、分類の頑健性を確認する。
• 構成は自然にスペクトル値関手へと拡張され、微分積分法の枠組みを豊かにする。
• モデル理論的局所化を用いて有限的条件を統合することで、グッドウィルの分類を改善した結果が得られた。