[論文レビュー] Gorenstein categories and Tate cohomology on projective schemes

Edgar E. Enochs, Sergio Estrada+1 more|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、有限のゴレンシュタイン射影的およびインジェクティブ次元をもつグローテンディーク圏であるゴレンシュタイン圏を導入し、その圏がテートコホモロジー関手およびアブラモフ＝マルツィンコフスキーの完全系列を備えることを確立している。主な貢献は、局所的にゴレンシュタイン射影的スキーム上の準連接層の圏がゴレンシュタイン圏であることを示したことであり、これにより層論的設定においてモデル構造およびテートコホモロジーが可能になる。

ABSTRACT

We study Gorenstein categories. We show that such a category has Tate cohomological functors and Avramov-Martsinkovsky exact sequences connecting the Gorenstein relative, the absolute and the Tate cohomological functors. We show that such a category has what Hovey calls an injective model structure and also a projective model structure in case the category has enough projectives. As examples we show that if X is a locally Gorenstein projective scheme then the category Qco(X) of quasi-coherent sheaves on $X$ is such a category and so has these features.

研究の動機と目的

• ゴレンシュタイン環上の加群圏の一般化としてゴレンシュタイン圏を定義・研究すること、特に射影的生成子が十分に存在しない状況を対象とすること。
• 射影的生成子が存在しない圏に対し、インジェクティブ解体を用いてテートコホモロジーおよびアブラモフ＝マルツィンコフスキーの完全系列を拡張すること。
• 局所的にゴレンシュタイン射影的スキーム上の準連接層の圏がゴレンシュタイン圏の公理を満たすことを示すこと。
• Hoveyの枠組みを一般化して、そのような圏にインジェクティブおよび射影的モデル構造が存在することを確立すること。
• 準連接層のゴレンシュタインインジェクティブ性が、局所的にゴレンシュタインスキームの文脈において局所的性質であることを示すこと。

提案手法

• 生成子を用いて対象に濃度を割り当てるために、有限のグローバル・フィニスティック射影的およびインジェクティブ次元をもつグローバル・グローテンディーク圏としてゴレンシュタイン圏を定義する。
• グローバル・グローテンディーク圏における十分なインジェクティブ性を用いて、インジェクティブ加群を用いた完全解体を介してゴレンシュタインインジェクティブ対象を定義する。
• ゴレンシュタイン的意味で射影的かつインジェクティブである完全解体を用いて、テートコホモロジー関手を構成する。
• スキームのクーヴィの頂点に関連する随伴関手のペア (H^v, D^v) を用いて、局所的およびグローバルなゴレンシュタインインジェクティブ性を関連付ける。
• 準連接層がゴレンシュタインインジェクティブであることと、その各頂点における局所化が局所環上でゴレンシュタインインジェクティブであることとは同値であることを示す。
• 引き戻し図式および解体的・コ解体的クラスの性質を用いて、有限射影的次元および局所的インジェクティブ性がグローバルなインジェクティブ性を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル・グローテンディーク圏がいつテートコホモロジー関手およびアブラモフ＝マルツィンコフスキーの完全系列を備えるか。
• RQ2 射影的生成子が十分に存在しない、例えば準連接層の圏のような圏に対し、ゴレンシュタイン射影的およびインジェクティブ加群の理論を拡張できるか。
• RQ3 射影的スキームに対して、その準連接層の圏がゴレンシュタイン圏であるための条件は何か。
• RQ4 準連接層のゴレンシュタインインジェクティブ性は、そのすべての頂点における局所化がゴレンシュタインインジェクティブであることと同値か。
• RQ5 局所的にゴレンシュタインスキーム上の準連接層の圏にインジェクティブおよび射影的モデル構造を定義できるか。

主な発見

• 局所的にゴレンシュタイン射影的スキーム上の準連接層の圏は、有限のゴレンシュタインインジェクティブ次元をもち、その次元に普遍的な上限が存在する。
• 完全解体を介して、局所的にゴレンシュタイン射影的スキーム上の準連接層の圏においてテートコホモロジー関手が適切に定義される。
• アブラモフ＝マルツィンコフスキーの完全系列は存在し、その系列はゴレンシュタイン相対的、絶対的、およびテートコホモロジー関手を結ぶ。
• 局所的にゴレンシュタインスキーム上の準連接層の圏は、インジェクティブおよび射影的モデル構造を両方とも備えており、Hoveyの枠組みを一般化する。
• 準連接層がゴレンシュタインインジェクティブであることと、関連するクーヴィの各頂点におけるその局所化が局所環上でゴレンシュタインインジェクティブであることとは同値である。
• ゴレンシュタインインジェクティブな準連接層のクラスは、エピモルフィズムの核に関して閉じており、有限射影的次元をもつ対象のクラスは解体的である。