[論文レビュー] Gorenstein injective dimension, Bass formula and Gorenstein rings

Leila Khatami, Siamak Yassemi|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、noetherian局域環 $ R $ が Gorensteinであることと、その残余体 $ k $ の Gorenstein注入次元が有限であることとは同値であることを確立し、従来の正則環の注入次元による特徴付けを一般化する。さらに、noetherian環上の有限生成モジュラス $ M $ について、Gorenstein注入次元が有限であるとき、その Gorenstein注入次元は、$ M $ の台に属する素イデアルにおける局域化 $ S_{\frak p} $ の射影次元の上限に等しいという一般化された Bass 公式を証明する。これは文献に既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $(R,\frak m, k)$ be a noetherian local ring. It is well-known that $R$ is regular if and only if the injective dimension of $k$ is finite. In this paper it is shown that $R$ is Gorenstein if and only if the Gorenstein injective dimension of $k$ is finite. On the other hand a generalized version of the so-called Bass formula is proved for finitely generated modules of finite Gorenstein injective dimension. It also improves Christensen's generalized Bass formula (cf. "Gorenstein dimensions", volume 1747 of Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2000).

研究の動機と目的

• 局所 Gorenstein 環を、その残余体 $ k $ の Gorenstein注入次元の有限性によって特徴付けること。
• 注入次元に関する古典的 Bass 公式を Gorenstein注入次元の設定に一般化すること。
• 双対複体を必要としない一般の noetherian 局所環へ、Enochs, Jenda, Christensen などの結果を拡張すること。
• モジュラスの Gorenstein注入次元と、その台に属する素イデアルにおける局域化の射影次元との関係を確立すること。

提案手法

• 完全注入分解を用いて Gorenstein注入モジュラスを定義・分析する。
• Foxby 対称性と、Gorenstein注入次元の Ext 関手による特徴付けの応用：$ \mathrm{Gid}_R M = \sup\{ i \mid \mathrm{Ext}_R^i(J,M) \neq 0 \text{ となる } J \text{ が存在し、} \mathrm{id}_R J < \infty \} $。
• 一般化された Bass 公式の証明：有限生成 $ S $-モジュラス $ M $ に対して、$ \mathrm{Gid}_S M = \sup\{ \mathrm{pt}\, S_{\frak p} \mid \frak p \in \mathrm{Supp}(M) \} $。
• 局域化と正則列の技法を用いて、$ \mathrm{Gid}_{R/xR}(M/xM) $ と $ \mathrm{Gid}_R M $ の関係を調べ、正則元を剰余することで次元が少なくとも 1 減少することを示す。
• Ext 関手における長完全系列と射影次元に関する帰納法を用いて、一般化された Ischebeck 型公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 noetherian局域環 $ R $ が Gorensteinであることと、その残余体 $ k $ の Gorenstein注入次元が有限であることとは、必要十分条件であるか？
• RQ2 任意の noetherian 環上での有限 Gorenstein注入次元について、注入次元に関する古典的 Bass 公式を一般化できるか？
• RQ3 モジュラスの Gorenstein注入次元は、正則列による商と局域化においてどのように振る舞うか？
• RQ4 環 $ S $ 上のモジュラス $ M $ の Gorenstein注入次元は、$ M $ の台に属する素イデアルにおける局域化 $ S_{\frak p} $ の射影次元に依存するか？

主な発見

• noetherian局域環 $ R $ は、その残余体 $ k $ の Gorenstein注入次元が有限であることと同値に Gorenstein である。
• 任意の commutative noetherian 環 $ S $ 上の有限生成モジュラス $ M $ で、Gorenstein注入次元が有限であるとき、$ M $ の Gorenstein注入次元は、$ M $ の台に属する素イデアル $ \frak p $ における局域化 $ S_{\frak p} $ の射影次元の上限に等しい。
• $ R $ が almost Cohen-Macaulay で、$ M $ が有限生成 $ R $-モジュラスかつ Gorenstein注入次元が有限であるとき、$ \mathrm{Gid}_R M = \mathrm{pt}\, R $ が成り立つ。
• 正則元 $ x \in \mathfrak{m} $ が $ R $-および $ M $-正則であるとき、$ R/xR $ 上の $ M/xM $ の Gorenstein注入次元は、$ R $ 上の $ M $ の Gorenstein注入次元以下で、$ R $ が almost Cohen-Macaulay であるときには等号が成り立つ。
• 一般化された Ischebeck 公式が成り立つ：局所環の準同型 $ \phi: (R,\mathfrak{m},k) \to (S,\mathfrak{n},l) $ と、$ R $ 上で有限の注入次元を持つ有限生成 $ S $-モジュラス $ N $ に対して、$ \mathrm{pt}\, R = \mathrm{id}_R N $ が成り立つ。ただし $ \mathrm{pt}_R M = 0 $ または $ M $ が $ R $ 上で有限生成のときを仮定する。