[論文レビュー] Gorenstein Threefold Singularities with Small Resolutions via Invariant Theory for Weyl Groups

Sheldon Katz, David R. Morrison|ArXiv.org|Feb 5, 1992

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、Weyl群の不変量理論を用いて、すべてのGorenstein3次元特異点で、非可約な小解消を持つものについて、正確に6つの族に分類している。Pinkhamの構成を同時に解消と根系の不変量を用いて分析することで、特異点の一般超平面切断の型は1つの不変量—「長さ」—によって決定され、各ケースについて部分解消から変形空間への写像を明示的に計算している。

ABSTRACT

We classify simple flops on smooth threefolds, or equivalently, Gorenstein threefold singularities with irreducible small resolution. There are only six families of such singularities, distinguished by Koll{á}r's {\em length} invariant. The method is to apply invariant theory to Pinkham's construction of small resolutions. As a by-product, generators of the ring of invariants are given for the standard action of the Weyl group of each of the irreducible root systems.

研究の動機と目的

• 非可約な小解消を持つすべてのGorenstein3次元特異点を分類すること。
• 超平面切断の選択に関するPinkhamの構成の曖昧さを解消し、普遍的不変量を同定すること。
• このような特異点がちょうど6つの族に分類され、Kollárが導入した「長さ」不変量によって特徴づけられることを証明すること。
• Weyl群の不変量を用いて、部分解消空間から変形空間への写像を明示的に計算すること。
• ディスク写像を用いたPRes(S,v)とDef(S)を通じて、最も一般なこのような特異点の完全かつ計算可能な記述を確立すること。

提案手法

• 小解消をディスクから部分解消空間PRes(S,v)への写像としてモデル化するPinkhamの構成の使用。
• PRes(S,v)を、有理型二重点に対応する根系Rの部分系に関連するWeyl群W₀による商空間V/W₀と同一視すること。
• BrieskornとTyurinaによる同時に解消理論の応用を拡張し、解消の明示的で計算可能な形を提供すること。
• WとW₀のWeyl群の不変量理論を活用して、写像PRes(S,v) → Def(S) = V/Wを分析すること。
• Weyl群作用の不変量として、変形空間Def(S)の定義方程式を明示的に計算すること。
• 「長さ」不変量を用いて6つの族を区別し、x² + y² + z² + t²ᵏ = 0のような既知の例を再構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約な小解消を持つGorenstein3次元特異点は、いくつの族に分けられるか？
• RQ2 このような特異点の異なる族を特徴づける不変量は何か？
• RQ3 Weyl群の不変量理論を用いて、写像PRes(S,v) → Def(S)を明示的に計算できるか？
• RQ4 一般の超平面切断を仮定しない場合、Pinkhamの構成が有限個の族しか得られないか？
• RQ5 このような小解消における一般超平面切断の正確な特異点型は何か？

主な発見

• 非可約な小解消を持つGorenstein3次元特異点は、正確に6つの族に分類され、その分類は「長さ」不変量によって行われる。
• このような特異点の一般超平面切断は、長さによって決定される有理型二重点の型を持つ。
• 写像PRes(S,v) → Def(S)は、Weyl群W₀とWによる根空間不変量の商として明示的に計算可能である。
• 長さが1のとき、構成は古典的な族x² + y² + z² + t²ᵏ = 0を回復する。
• 変形空間Def(S)の定義方程式は、Weyl群の斉次不変量として与えられ、基本対称多項式s₁からs₇を用いた明示的表現を持つ。
• 本手法により、ディスク写像をPRes(S,v)にとることで、最も一般なこのような特異点の完全かつアルゴリズム的な記述が得られ、その結果得られる特異点はDef(S)との合成によって決定される。