[論文レビュー] Goresky-Pardon extensions of Chern classes and associated Tate extensions

Eduard Looijenga|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多様体 X の開ストラタからその全コホロロジーに至るホロモルフィックベクトル束のチャーン類が、ホッジレベルが少なくとも k であるような条件下で、幾何的条件を確立する。局所対称多様体のバイルリ・ボレルコンパクト化と自動形式的バンドルに対しては、Goresky-Pardon の拡張定理を回復・強化し、さらに X が A_g のサタケコンパクト化で g ≫ k のとき、k 番目のチャーン類の拡張が非ゼロの虚部を持つことを示し、Beilinson のレギュレーターを用いて基本的タート拡張を構成する。

ABSTRACT

Let X be an irreducible complex variety, S a stratification of X and F a holomorphic vector bundle on the open statum. We give geometric conditions on S and F that produce a natural extension of the k-th Chern class F as a class in the complex cohomology of X of Hodge level at least k. When X is the Baily-Borel compactification of a locally symmetric variety with its stratification by boundary components, and F an automorphic bundle on its interior, then this recovers and refines a theorem of Goresky-Pardon. In passing we define a class of simplicial resolutions of the Baily-Borel compactification that can be used to define its mixed Hodge structure. Finally, we use the Beilinson regulator for the rationals to show that when X is the Satake (=Baily-Borel) compactification of A_g and F the Hodge bundle (with g large compared to k), the Goresky-Pardon k-th Chern class extension has nonzero imaginary part and gives rise to a basic Tate extension.

研究の動機と目的

• 複素多様体 X のコホロロジー H^*(X, ℂ) においてホッジレベルが少なくとも k であるような条件下で、ホロモルフィックベクトル束の k 番目のチャーン類が拡張されるような幾何的条件を定義すること。
• 局所対称多様体のバイルリ・ボレルコンパクト化における自動形式的バンドルに対して、Goresky-Pardon の拡張定理を一般化・強化すること。
• バイルリ・ボレルコンパクト化の単体的解体を構成し、その混合ホッジ構造を定義すること。
• Satakeコンパクト化 A_g におけるホッジバンドルの k 番目のチャーン類の Goresky-Pardon 拡張が、非ゼロの虚部を持つことをBeilinsonレギュレーターを用いて示すこと。
• g が k よりも十分に大きいとき、この非自明な拡張が基本的タート拡張を生じることを示すこと。

提案手法

• ストラタフィケーション S と開ストラタ上のホロモルフィックベクトル束 F に対して、k 番目のチャーン類が H^*(X, ℂ) においてホッジレベル ≥ k に拡張されるような幾何的条件を導入すること。
• バイルリ・ボレルコンパクト化の単体的解体を構成し、その混合ホッジ構造を定義することで、コホロロジー計算を可能にすること。
• Satakeコンパクト化 A_g の場合において、Goresky-Pardon が得た k 番目のチャーン類の拡張に対して、ℚ に対するBeilinsonレギュレーターを適用すること。
• レギュレーター写像を用いて拡張されたチャーン類の虚部を解析し、g ≫ k のとき非ゼロであることを示すこと。
• 虚部の消滅しない性質を用いて、基本的タート拡張を構成し、算術的幾何学とホッジ理論を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストラタフィケーション S と開ストラタ上のホロモルフィックベクトル束 F に対して、k 番目のチャーン類が H^*(X, ℂ) においてホッジレベルが少なくとも k に拡張されるような幾何的条件は何か？
• RQ2 局所対称多様体のバイルリ・ボレルコンパクト化の文脈において、Goresky-Pardon の拡張定理はどのように一般化または強化できるか？
• RQ3 単体的解体を用いて、局所対称多様体のバイルリ・ボレルコンパクト化の混合ホッジ構造を定義できるか？
• RQ4 Beilinsonレギュレーターは、A_g のサタケコンパクト化におけるチャーン類の Goresky-Pardon 拡張から非自明な算術的情報を検出できるか？
• RQ5 A_g におけるホッジバンドルの k 番目のチャーン類の Goresky-Pardon 拡張が、どのような条件下で基本的タート拡張を生じるか？

主な発見

• ストラタフィケーション S とベクトル束 F に対して指定された幾何的条件下では、複素多様体 X の開ストラタ上に存在するホロモルフィックベクトル束 F の k 番目のチャーン類が、H^*(X, ℂ) におけるホッジレベルが少なくとも k のクラスに拡張される。
• 局所対称多様体のバイルリ・ボレルコンパクト化と自動形式的バンドルに対しては、この構成が Goresky-Pardon の拡張定理を回復・強化する。
• バイルリ・ボレルコンパクト化の単体的解体が定義され、それがその混合ホッジ構造の構成に用いられている。
• g が k よりも十分に大きい A_g のサタケコンパクト化において、ホッジバンドルの k 番目のチャーン類の Goresky-Pardon 拡張は非ゼロの虚部を持つ。
• 拡張されたチャーン類の虚部が非消滅することをBeilinsonレギュレーターを用いて示し、これにより基本的タート拡張が得られる。
• この結果により、Beilinsonレギュレーターの算術的性質と、モジュライ空間における特性類のホッジ理論的拡張との直接的な関係が確立される。