[論文レビュー] Gouy-Stodola Theorem as a variational principle for open systems

Umberto Lucia|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一定の環境温度を通じてエントロピー生成を熱力学的仕事損失に関連付けることで、開いた非平衡系に対する普遍的な変分原理として、Gouy-Stodolaの定理を提案する。この原理により、不可逆的仕事損失 $ W_\text{λ} = T_a S_g $ が確立され、統計力学とラグランジュ形式による定式化を通じて、グローバルな変分的要件を満たすことが証明され、多様な科学的・工学的分野における統一的解析が可能となる。

ABSTRACT

The recent researches in non equilibrium and far from equilibrium systems have been proved to be useful for their applications in different disciplines and many subjects. A general principle to approach all these phenomena with a unique method of analysis is required in science and engineering: a variational principle would have this fundamental role. Here, the Gouy-Stodola theorem is proposed to be this general variational principle, both proving that it satisfies the above requirements and relating it to a statistical results on entropy production.

研究の動機と目的

• 多様な科学的・工学的分野に適用可能な、開いた非平衡系に一般化可能な変分原理を確立すること。
• 複雑な系に応用可能な工学的熱力学におけるエントロピー生成の統計的定義の欠如を解消すること。
• Gouy-Stodolaの定理が、仕事に基づく性質と単一の定常環境温度の使用という二重の要件を満たしていることを示すこと。
• バイオテクノロジー、ナノテクノロジー、気候モデル、代謝工学、制御理論の分野におけるシステムの解析を、一つの変分枠組みで統一すること。
• SRB測度と位相空間収縮を用いて、エントロピー生成の統計的表現を導出することにより、より広範な適用可能性を実現すること。

提案手法

• 系の状態を定義するため、$ i \to N $ における 6N 次元位相空間 $ \text{span}\big\{\textbf{p}_i, \textbf{q}_i\big\} $ を用いて、開いた系を形式化する。
• プロセス生成子を介して全状態に到達可能な「完全な到達可能性」を持つ系 $ (\text{Ω}, \text{Π}) $ の概念を導入する。
• 制御体積におけるエネルギー収支とエントロピー収支を用いて、Gouy-Stodolaの定理を導出し、$ W_\text{λ} = T_a S_g $ を示す。ここで $ S_g $ は全エントロピー生成を表す。
• SRB統計と位相空間収縮 $ \rho_{\text{in}} $ を用いて、統計的エントロピー生成を $ \rho_{\text{prod}} = \frac{1}{k_B} \rho_{\text{in}} \frac{\rho_{\text{in}}}{T_i} $ と定義する。
• 熱力学的ラグランジアンを $ \text{ℒ} = W_\text{λ} $ と定義し、$ \rho_{\text{ℒ}} = \rho_{\text{S}} - \rho_{\text{π}} - \rho_{\text{φ}} $ から導出する。ここで $ \rho_{\text{S}} - \rho_{\text{π}} = 2\rho_{\text{φ}} $ であることから $ \rho_{\text{ℒ}} = \rho_{\text{φ}} $ が得られる。
• 最小作用の原理 $ \frac{\text{δ} \text{𝒜}}{\text{δ} t} \to 0 $ を適用し、$ \text{δ} W_\text{λ} \to 0 $ が成り立つことを示し、定常状態において仕事損失が極値（最小または最大）をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gouy-Stodolaの定理は、多様な科学分野における開いた非平衡系に対して普遍的な変分原理として機能できるか？
• RQ2 位相空間収縮とSRB測度を用いて、開いた系におけるエントロピー生成をどのように統計的に定義できるか？
• RQ3 定常状態における開いた系において、熱力学的仕事損失とエントロピー生成の関係は何か？
• RQ4 Gouy-Stodolaの定理は、仕事に基づく性質と単一の定常環境温度の使用という二つの基本的要件を満たしているか？
• RQ5 統計力学とエントロピー収支から熱力学的ラグランジアンを導出し、変分形式を導けるか？

主な発見

• Gouy-Stodolaの定理は、$ W_\text{λ} = T_a S_g $ において $ S_g $ を全エントロピー生成とすることで、開いた系に対して有効な変分原理であることが証明された。
• 統計的エントロピー生成は $ \rho_{\text{prod}} = \frac{1}{k_B} \rho_{\text{in}} \frac{\rho_{\text{in}}}{T_i} $ と定義され、ここで $ \rho_{\text{in}} $ は熱フラックス、$ T_i $ はバスタンクの温度を表す。
• 定常状態では、エントロピー生成率は $ \frac{dS_g}{dt} = -k_B \rho_{\text{prod}} $ を満たし、マクロなエントロピーとミクロな位相空間収縮が結びつけられる。
• 熱力学的ラグランジアンは $ \text{ℒ} = W_\text{λ} $ と特定され、エネルギーおよびエントロピー収支から導出されたことにより、変分力学におけるその役割が確認された。
• 作用 $ \text{𝒜} = \text{∫} W_\text{λ} dt $ は最小作用の原理に従い、$ \text{δ} W_\text{λ} \to 0 $ が成り立つ。これにより、$ W_\text{λ} $ は系内部で最小値、環境外部で最大値をとることが示された。
• 本フレームワークにより、生物学、ナノテクノロジー、気候科学、代謝工学の分野におけるシステムの解析が、統計的かつ仕事に基づき、環境温度が一定であることを満たす変分原理によって統一的に可能となった。