[論文レビュー] Gowers norms for automatic sequences

Jakub Byszewski, Jakub Konieczny+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

semigroups and automata theory参考文献 36被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、算術正則化補題よりも著しく改善された、自動列の分解を精緻化する。自動列を構造的（有理的ほぼ周期的）な部分と、ゴーバー一様な部分に分離する。周期的列との相関がない自動列は、高次にゴーバー一様であることが証明され、これにより自動集合における長い等差数列の数の非自明な下界が得られる。これは、等差数列の長さが5以上である場合、一般の集合では成り立たない結果である。

ABSTRACT

62 pages

研究の動機と目的

• 算術正則化補題が保証するよりも、自動列の構造的部と一様部に分離するより効率的な分解を確立すること。
• 周期的列と直交する自動列が高次にゴーバー一様であることを示し、トゥエ–モルス列やルーディン–シャピロ列に関する既知の結果を拡張すること。
• 一様性の結果を応用して、自動集合における長い等差数列の数の定量的下界を導出すること。
• 等差数列の長さが5以上であるとき、一般のℕ₀の部分集合ではこのような下界が成り立たないことを示し、自動列が有する特別な構造的性質を強調すること。

提案手法

• 有限オートマトンによって生成される自動列における擬似乱数性を測るためのゴーバー一様性ノルムの使用。
• 制限された設定におけるゴーバーノルムの逆定理の応用。オートマトンの構造を活用することで、完全なニルシーケンスの複雑さを回避する。
• 有理的ほぼ周期的（RAP）列を構造的成分として導入・使用。これは、ベシコビッチ距離における周期的列による近似によって定義される。
• オートマトンの群拡張フレームワークにおいて特徴的因子を構成。特に可逆群拡張と正規部分群を用いて一様成分を分離する。
• オートマトンにおけるモルフィズム構成と語のダイナミクスを活用し、状態およびラベルへの列の作用を分析。特に同期化語と群ラベルを用いる。
• 反復的非識別的因子構成と群拡張の簡約を用いた証明により、ℤ(m)に同型である特徴的因子の存在を示し、m は k−1 を割り切る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術正則化補題が保証するよりも、自動列を構造的部とゴーバー一様部に効率的に分解できるか？
• RQ2 どのような条件下で自動列が高次にゴーバー一様になるのか、特に周期的列との相関関係とどのように関係するか？
• RQ3 ゴーバー一様性の定量的影響は、自動集合における等差数列の分布にどのような意味を持つのか？
• RQ4 なぜ、等差数列の長さが5以上であるとき、一般のℕ₀の部分集合では等差数列の数に関する結果が成り立たないのか、一方で自動集合では成り立つのか？

主な発見

• 周期的列との相関がない任意の自動列は、高次にゴーバー一様である。つまり、そのゴーバー一様性ノルムはNに関して多項式的に減少する。
• 強連結かつ延長可能なオートマトンに対して、自動列は有理的ほぼ周期的部と高次にゴーバー一様な部に分解可能である。
• 分解における構造的成分は有理的ほぼ周期的であり、これは密度の意味で周期的列による近似が可能な系列のクラスである。
• 本稿では、任意のl ≥ 2に対して、自動集合におけるl項等差数列の数について非自明な下界を確立した。この下界はオートマトンの構造に依存する。
• l ≥ 5のとき、これらの下界は一般のℕ₀の部分集合では成り立たないことが示され、自動列が有する特別な擬似乱数的性質を裏付けた。
• 効率的な群拡張における特徴的因子がℤ(m)に同型であることが確立され、m は k−1 を割り切る。構造的剛性が確認された。