[論文レビュー] Gröbner Basis Theory for Modules over Polynomial Rings over Fields with Valuation

Aritra Sen, Ambedkar Dukkipati|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、係数の付値を初期項の定義に組み込むことで、付値を持つ体上の多項式環上の自由加群に対してグレブナー基底理論を拡張する。初期項の定義に付値を組み込み、値がℕに値をとるエカルト関数を用いてwell-orderingを維持する。グレブナー基底とヒルベルト多項式を計算する、バッハバーガーに類似したアルゴリズムを提示。この枠組みにおいて初期部分加群のサイズが一定に保たれる例も示され、標準的グレブナー基底よりも計算上の利点をもたらす。

ABSTRACT

A motivation to study Gröbner theory for fields with valuations comes from tropical geometry, for example, they can be used to compute tropicalization of varieties \citep{maclagan2009introduction}. The computational aspect of this theory was first studied in (Chen \& Maclagan, 2013). In this paper, we generalize this Gröbner basis theory to free modules over polynomial rings over fields with valuation. As the valuation of coefficients is also taken into account while defining the initial term, we do not necessarily get a monomial order. To overcome this problem we have to resort to other techniques like the use of ecart function where the codomain is the well-ordered set $\mathbb{N}$, and thereby give a method to calculate the Gröbner basis for submodules generated by homogeneous elements.

研究の動機と目的

• 付値を持つ体上の多項式環上の加群に対するグレブナー基底理論を一般化し、係数の付値が初期項に影響することを目的とする。
• 付値に基づく項順序によって標準的な単項式順序が失敗する状況を克服するため、終域がℕであるエカルト関数を導入する。
• 斉次な要素によって生成される部分加群のグレブナー基底を計算する、バッハバーガーに類似したアルゴリズムを開発すること。
• 提案されたアルゴリズムを用いて、グレブナー基底の計算を通じて、グレード付き加群のヒルベルト多項式を計算可能にする。
• 同様の正規形とグレブナー基底アルゴリズムを備えた、ℤ/p^ℓℤ[x₁,…,xₙ] 上の自由加群へこの枠組みを拡張すること。

提案手法

• 標準的な単項式順序に代えて、係数の付値と重み付き単項式次数の和を用いた付値に基づく項順序を定義する。
• well-orderingを保証し、単項式順序が存在しない状況でもバッハバーガーの基準を適用可能にするために、ℕに値をとるエカルト関数を導入する。
• 付値を持つ体上の多項式環に対する加群の正規形アルゴリズムを構築し、初期項とエカルトに基づく還元ステップを用いる。
• S多項式の計算と、現在の基底に関する還元を組み合わせることでバッハバーガーアルゴリズムを適応し、グレブナー基底の検証に残余がゼロになることを保証する。
• グレード付き設定において初期部分加群の成長と次数の追跡を通じて、ヒルベルト多項式の計算にアルゴリズムを適用する。
• 整数環ℤ/p^ℓℤ[x₁,…,xₙ] 上の加群へ枠組みを拡張する際、モジュロ算術と類似する付値の性質を用いて正規形とグレブナー基底計算を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数の付値が項順序に影響する付値を持つ体上の多項式環上の加群に対して、グレブナー基底理論を一般化できるか？
• RQ2 付値に基づく項比較によって標準的単項式順序が失敗する状況において、どのようにwell-orderingを維持し、グレブナー基底を計算できるか？
• RQ3 この付値に基づくグレブナー基底アプローチの計算上の利点（基底のサイズと効率性）は何か？
• RQ4 この新しい枠組みを用いて、グレード付き加群のヒルベルト多項式を効果的に計算できるか？
• RQ5 この理論は、ℤ/p^ℓℤ[x₁,…,xₙ] のような有限環へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 提案手法により、標準的グレブナー基底よりも著しく小さいグレブナー基底が得られる。特に、次数が増加しても初期部分加群のサイズが一定の例も示された。
• ℕに値をとるエカルト関数の使用により、well-orderingが保証され、標準的単項式順序が存在しない状況でも、グレブナー基底の検証に類似した基準が適用可能になる。
• グレード付き加群に対して、付値に基づく順序における初期部分加群の成長を追跡することで、ヒルベルト多項式が正しく計算される。
• 正規形アルゴリズムとバッハバーガーに類似した基準が、ℤ/p^ℓℤ[x₁,…,xₙ]-加群の設定に適応され、この枠組みは成功裏に拡張された。
• S多項式の残余がゼロになるのは、かつて生成集合がグレブナー基底である場合に限る。これにより、アルゴリズムの正しさが保証される。
• ℚ上でのグレブナー基底の計算を避けるために、ℤ/p^ℓℤ上でグレブナー基底を計算し、それをℚに持ち上げることで、係数の爆発を緩和する実用的な計算経路が可能になる。