[論文レビュー] Gröbner-Shirshov bases for some Lie algebras

Yuqun Chen, Li Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Drinfeld-Kohno Lie代数 $\mathbf{L}_n$ と半群 $P$ に関連する Kukin の Lie代数 $A_P$ に対して、Gröbner-Shirshov 基底を確立し、$\mathbf{L}_n$ が明示的な $\mathbb{Z}$-基底を持つ自由 $\mathbb{Z}$-加群であることを証明する。また、Gröbner-Shirshov 基底の代数的構造を用いて、$P$ が決定不能な語問題を持つならば $A_P$ に対しても同様にそうである、という Kukin の定理の新しい証明を提供する。

ABSTRACT

We give Gröbner-Shirshov bases for Drinfeld-Kohno Lie algebra $ extbf{L}_{n}$ in \cite{[Et]} and Kukin Lie algebra $A_P$ in \cite{Kukin}, where $P$ is a semigroup. As applications, we show that as $\mathbb{Z}$-module $ extbf{L}_{n}$ is free and a $\mathbb{Z}$-basis of $ extbf{L}_{n}$ is given. We give another proof of Kukin Theorem: if semigroup $P$ has the undecidable word problem then the Lie algebra $A_P$ has the same property.

研究の動機と目的

• Drinfeld-Kohno Lie代数 $\mathbf{L}_n$ に対して、$\mathbb{Z}$ 上の Gröbner-Shirshov 基底を構成すること。
• Gröbner-Shirshov 基底を用いて $\mathbf{L}_n$ の $\mathbb{Z}$-基底を確立し、それが自由 $\mathbb{Z}$-加群であることを証明すること。
• Kukin の定理：半群 $P$ が決定不能な語問題を持つならば、関連する Lie代数 $A_P$ に対しても同様にそうである、という定理の新しい代数的証明を提供すること。
• 基底構造を用いて $\mathbf{L}_n$ が自由 Lie代数の反復半直積であることを示すこと。

提案手法

• 体上の Lie代数に対する Composition-Diamond Lemma を適用し、次数-辞書式順序と Shirshov 特別括弧法を用いて、$\mathbf{L}_n$ の Gröbner-Shirshov 基底 $S$ を構成する。
• 関係のすべての合成が $S$ を法として 0 に還元されることを検証し、$S$ が Gröbner-Shirshov 基底であることを確認する。
• 基底 $Irr(S)$ の正規 $S$-語を用いて、非結合的 Lyndon-Shirshov 語として $\mathbf{L}_n$ の $\mathbb{Z}$-基底を定義する。
• Gröbner-Shirshov 基底技法を用いて $A_P$ の関係を分析し、$P$ の語問題が $A_P$ に引き継がれることを示す。
• 基底の構造を用いて $\mathbf{L}_n$ が自由 Lie代数の反復半直積であることを示す。
• 代数的構造を保ったまま、$\mathbb{Z}$ から任意の単位元を持つ可換環への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld-Kohno Lie代数 $\mathbf{L}_n$ は $\mathbb{Z}$ 上で Gröbner-Shirshov 基底をもつか？
• RQ2 Gröbner-Shirshov 基底理論を用いて、$\mathbf{L}_n$ の $\mathbb{Z}$-基底を明示的に構成できるか？
• RQ3 半群 $P$ の語問題は、関連する Lie代数 $A_P$ の語問題を決定づけるか？
• RQ4 $\mathbf{L}_n$ は自由 Lie代数の反復半直積と同型か？
• RQ5 Gröbner-Shirshov 基底を介して、$P$ における語問題の決定不能性が $A_P$ に代数的に継承されるか？

主な発見

• 関係 $S$ の集合は、すべての合成が 0 に還元されることにより、$\mathbb{Z}$ 上で Gröbner-Shirshov 基底であることが確認された。
• Drinfeld-Kohno Lie代数 $\mathbf{L}_n$ は、$\mathbb{Z}$-基底 $Irr(S) = \{[t_{ik_1}t_{ik_2}\cdots t_{ik_m}] \mid t_{ik_1}t_{ik_2}\cdots t_{ik_m} \text{ は } T^* \text{ における ALSW} \}$ を持つ自由 $\mathbb{Z}$-加群である。
• この論文は、Kukin の定理の新しい証明を提供する：$P$ が決定不能な語問題を持つならば、$A_P$ に対しても同様にそうである。この証明は Gröbner-Shirshov 基底の構造を用いる。
• Lie代数 $\mathbf{L}_n$ は、$\mathbf{L}_n = A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_{n-2}$ かつ $A_i \triangleleft A_i + \cdots + A_{n-2}$ という分解により、自由 Lie代数の反復半直積であることが示された。
• すべての結果は、$\mathbb{Z}$ に限らず、任意の単位元を持つ可換環に対しても拡張可能であり、Gröbner-Shirshov 基底および基底構造が保たれる。
• すべての関係の合成が $S$ を法として自明であるため、$\mathbf{L}_n$ に対して基底は完全かつ最小であることが確認された。