[論文レビュー] Grünwald version of van der Waerden's theorem for semi-modules

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、*-半環上の半モジュラーにGrünwaldのヴァン・ダール・ワルデンの定理を一般化し、地域的多重再帰定理を確立することで、半モジュラーの任意の有限彩色において、ある色クラスが任意の有限集合のシンデチックな拡大を含むことを証明している。主な結果は、各均一的ほぼ周期的点が多重ほぼ周期的であることを示しており、整数を超える代数的構造への古典的分割正則性の拡張を実現している。

ABSTRACT

Let $(G,\pmb{+})$ be any given semimodule over a discrete semiring $(R,+,\cdot)$ with a finite coloring, say $G=B_1\cup\dotsm\cup B_q$. By establishing a Regional Multiple Recurrence Theorem for semimodules, we prove that one of the colors $j$ has the property that if $F\subseteq G$ is any finite set, then one can find some "syndetic" subset $D_F$ of $(R,+)$ such that for each $d\in D_F$ there is some $a\in B_j$ with $a\pmb{+}dF\subseteq B_j$. This in turn implies that each Bohr almost periodic point is multiply uniformly recurrent.

研究の動機と目的

• 半環上の半モジュラーへのGrünwaldのヴァン・ダール・ワルデンの定理の一般化を、$\mathbb{N}^m$ から *-半環上の半モジュラーに拡張すること。
• 半モジュラーにおける基本的道具としての地域的多重再帰定理を確立すること。
• 半モジュラーの任意の有限彩色において、ある色クラスが任意の有限集合 $F$ のシンデチックな拡大を含むことを証明すること。
• このような系における均一的ほぼ周期的点が、多重ほぼ周期的であることを示すこと。
• *-半環上の半モジュラーにおけるシュール＝ブロウアー型の未解決予想（同位写像コピーの存在）を取り上げること。

提案手法

• スカラー乗法と加法的構造を持つ *-半環上の半モジュラーを形式化すること。
• 有限集合 $K$ を用いて、半環 $R$ 内のシンデチックな部分集合を定義し、任意の $t \in R$ に対して $K + t \cap S \neq \emptyset$ が成り立つこと。
• 超フィルター法とStone-Čechコンパクト化を用いて、半モジュラー内の再帰を分析すること。
• 増加列 $M_n \subset M$ 上の彩色の極限点を用いて、主結果の有限版を証明すること。
• 地域的多重再帰定理を適用し、ある色 $j$ に対して $a \in M$, $d \in R \setminus \{0\}$ が存在し、$a + dF \subseteq B_j$ となることを示すこと。
• *$-半環であることにより、非自明なシンデチック集合が非ゼロ元を含むことが保証され、$d = 0$ の自明な解を回避できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の *-半環上の半モジュラーの有限彩色において、任意の有限集合 $F$ のシンデチックな拡大が、ある色クラスに含まれるか。
• RQ2 古典的なGrünwald-ヴァン・ダール・ワルデンの定理は、任意の半環上の半モジュラーへ拡張可能か。
• RQ3 半モジュラー系における均一的ほぼ周期的点は、常に多重ほぼ周期的か。
• RQ4 半環 $R$ にどのような条件を課すと、シンデチックな部分集合が非ゼロ元を含むようになるか。
• RQ5 シュール＝ブロウアー予想は半モジュラーにおいて成り立つか。すなわち、$a + Fb \subseteq B_j$ が $b \neq \mathbf{o}$ および $a \in M$ に対して成り立つか。

主な発見

• 任意の有限彩色 $M = B_1 \cup \dotsm \cup B_q$ に対して、*-半環 $R$ 上の半モジュラー $M$ において、任意の有限集合 $F \subset M$ と $d \in R \setminus \{0\}$ に対して、ある色クラス $B_j$ がシンデチックな拡大 $a + dF$ を含む。
• 地域的多重再帰定理により、各 $F$ に対して $D_F \subset R$ が存在し、$D_F$ の各 $d$ に対して、$a \in B_j$ が存在して $a + dF \subseteq B_j$ となる。
• この結果は、系におけるすべての均一的ほぼ周期的点が多重ほぼ周期的であることを示し、Furstenbergの再帰結果を拡張する。
• 有限版（定理3.25）により、十分大きな $n$ に対して、$M_n$ の任意の $q$-彩色は、$d \neq 0$ を満たす同位写像コピー $a + dF$ をある色に含む。
• *-半環の条件により、シンデチック集合が非ゼロ元を含むことが保証され、これは $d = 0$ の自明な解を回避するために不可欠である。
• 本論文は、シュール＝ブロウアー型の条件の下で、$a + Fb \subseteq B_j$ が $b \neq \mathbf{o}$ および $a \in M$ に対して成り立つという予想を確認しており、古典的結果を一般化している。