[論文レビュー] Grüss and Grüss-Voronovskaya-type estimates for some Bernstein-type polynomials of real and complex variables

Sorin G. Gal, Heiner Gonska|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 7被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、実および複素領域におけるベルヌーイ型多項式に対して、Grüss型およびGrüss-ヴォロノフスカヤ型の推定を確立し、コンパクト集合上の解析関数への古典的近似結果を拡張する。ベルヌーイ作用素の積とその出力の積との乖離に対する鋭い上界および下界を導出し、複素およびベルヌーイ＝ファーバー作用素に関して、それぞれ $ O(1/n) $ および $ O(1/n^2) $ の収束速度を示す主要な結果が得られる。

ABSTRACT

The first aim of this paper is to prove a Grüss-Voronovskaya estimate for Bernstein and for a class of Bernstein-Durrmeyer polynomials on $[0, 1]$. Then, Grüss and Grüss-Voronovskaya estimates for their corresponding operators of complex variable on compact disks are obtained. Finally, the results are extended to Bernstein-Faber polynomials attached to compact sets in the complex plane.

研究の動機と目的

• 複素ベルヌーイ多項式および関連する多項式へのGrüss型不等式を拡張し、作用素の積の乖離に関する境界を提供する。
• 古典的ヴォロノフスカヤ型漸近展開を精緻化し、$ n[B_n(fg) - B_n(f)B_n(g)] $ の展開における正確な一次項を同定する。
• 特に解析関数に対して、複素平面におけるコンパクト集合上でのベルヌーイ＝ファーバー作用素へのこれらの推定の一般化を行う。
• モジュラス連続性および解析性条件に基づく、作用素の積の定量的収束速度を確立する。

提案手法

• 作用素の積の差における主要項と誤差成分を分離するための分解技術の使用。
• 一次モジュラス連続性の最小の凹関数上界 $ \tilde{\omega}_1 $ を用いてGrüss関数の境界を設定する。
• ヴォロノフスカヤ型展開の適用により、積の乖離における $ O(1/n) $ の極限項を同定する。
• コンフォーマル写像および解析接続を通じて複素変数へ拡張し、$ G \subset \mathbb{C} $ におけるコンパクト集合に適用し、ファーバー多項式を用いる。
• [5]および[6]におけるベルヌーイ＝ファーバー作用素の近似誤差およびヴォロノフスカヤ型収束に関する既知の推定を活用する。
• 係数 $ a_k(f), a_k(g) $ およびファーバー多項式の差 $ F_{k-1}(z) - F_k(z) $ を用いた推定の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ f,g \in C^2[0,1] $ に対して、$ n[B_n(fg)(x) - B_n(f)(x)B_n(g)(x)] $ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 解析関数のコンパクト円板上における複素ベルヌーイ多項式へのGrüss型不等式はどのように拡張できるか？
• RQ3 ベルヌーイ＝ファーバー作用素に対するGrüss-ヴォロノフスカヤ推定における正確な $ O(1/n^2) $ 矯正項は何か？
• RQ4 作用素の積の偏差の収束速度は、$ f $ および $ g $ の解析性および滑らかさにどのように依存するか？
• RQ5 コンフォーマル写像およびファーバー多項式展開を用いて、$ \mathbb{C} $ 内のコンパクト集合への推定を一般化できるか？

主な発見

• $ f,g \in C^2[0,1] $ に対して、Grüss-ヴォロノフスカヤ推定は $ \left|n[B_n(fg)(x) - B_n(f)(x)B_n(g)(x)] - x(1-x)f'(x)g'(x)\right| \leq \frac{x(1-x)}{2}\left[\tilde{\omega}_1((fg)''; \frac{1}{3\sqrt{n}}) + \|g\|\tilde{\omega}_1(f''; \frac{1}{3\sqrt{n}}) + \|f\|\tilde{\omega}_1(g''; \frac{1}{3\sqrt{n}}) + \frac{1}{2n}\|f''\|\|g''\|\right] $ を満たす。
• コンパクト円板上における複素ベルヌーイ多項式に対して、Grüss推定は $ |B_n(fg;z) - B_n(f;z)B_n(g;z)| \leq \frac{C}{n} $ であり、ここで $ C $ は $ f,g,r $ に依存し、$ r>1 $ である。
• $ \overline{G_r} $ 上の複素ベルヌーイ＝ファーバー作用素に対して、Grüss-ヴォロノフスカヤ推定は $ \left|\mathcal{B}_n(fg;G)(z) - \mathcal{B}_n(f;G)(z)\mathcal{B}_n(g;G)(z) - \sum_{k=2}^\infty \frac{k(k-1)}{2n}[F_{k-1}(z)-F_k(z)](a_k(fg)-f(z)a_k(g)-g(z)a_k(f))\right| \leq \frac{C}{n^2} $ を満たす。
• 積作用素の偏差の収束速度は、Grüss推定では $ O(1/n) $、Grüss-ヴォロノフスカヤ推定では $ O(1/n^2) $ であり、複素ベルヌーイおよびベルヌーイ＝ファーバー作用素の両方において成り立つ。
• ハイポシクロイド、星型、リーマン曲線、半円板などの特定の領域では、$ \Psi $ および $ F_k $ が明示的に計算可能であるため、結果は鋭い。
• $ G = \mathbb{D}_R $ の場合、ベルヌーイ＝ファーバーの結果は複素ベルヌーイの場合に還元され、設定間の一貫性が確認される。