[論文レビュー] Grad and classes with bounded expansion III. restricted dualities

Jaroslav Nešetřil, Patrice Ossona de Mendez|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2005

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有界拡張性を示すクラスに対して制限付きホモモルフィズム双対性を確立し、任意のこのようなクラスおよび奇数の整数 p に対して、p 乗グラフ G^{\natural p} および正確な距離グラフ G^{[\natural p]} が有界な彩色数を持つことを証明している。主な貢献は、これらのクラスに属するグラフが、少数の色クラス上での誘導部分グラフが有限個の有界深さグラフとホモモルフィズム同値となるような正則彩色をもつ構造的分解定理を示したことである。

ABSTRACT

We study restricted homomorphism dualities in the context of classes with bounded expansion. This presents a generalization of restricted dualities obtained earlier for bounded degree graphs and also for proper minor closed classes. This is related to distance coloring of graphs and to the ''approximative version'' of Hadwiger conjecture.

研究の動機と目的

• 有界次数およびマイナー閉じたグラフクラスに限らない、より広範な有界拡張性クラスへの制限付き双対性の拡張。
• 有界拡張性クラスにおける奇数 p に対するグラフのp乗 G^{\natural p} および正確な距離グラフ G^{[\natural p]} の彩色性質の調査。
• 有界拡張性クラスに属するグラフに対して、少数の色クラス上での誘導部分グラフが有限個の有界深さグラフとホモモルフィズム同値となるような正則分割定理の確立。
• これらの結果を距離彩色およびハドウィガー予想の近似版との関連づけ。

提案手法

• 禁止ホモモルフィズムに対する有限ユニバーサルグラフ U(𝒦,ℱ) の存在を活用するホモモルフィズム双対性の概念を用いる。
• 木深さ p の概念を適用し、深さ p の任意のグラフとホモモルフィズム同値となる有限集合 D̂_p を構成する。
• 有界拡張性の性質を用いて、このようなホモモルフィズム同値代表元の数が有限であることを保証する。
• 分解定理を適用し、頂点集合を N 個の色クラスに分割する。このとき、任意の j 個のクラス上での誘導部分グラフが D̂_p に属するグラフとホモモルフィズム同値となる。
• 構造的分解を |V(U(𝒦,ℱ))| 個の色で彩色することにより、彩色数の上限を導出する。
• 定理 4.2 を基盤とする結果として、定理 5.2 および 5.3（G^{\natural p} および G^{[\natural p]} の彩色有界性）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きホモモルフィズム双対性は、有界次数およびマイナー閉じたクラスから、有界拡張性クラスへ拡張可能か？
• RQ2 有界拡張性クラスおよび奇数 p ≥ 1 に対して、奇数の周囲が p より大きいすべての G に対して、G^{\natural p} の彩色数は一様に有界か？
• RQ3 有界拡張性クラスに属するすべての G に対して、正確な距離グラフ G^{[\natural p]} の彩色数は一様に有界か？
• RQ4 有界拡張性クラスに属するグラフは、有限個の色クラスに分割可能であり、少数のクラス上での誘導部分グラフが有限個の有界深さグラフとホモモルフィズム同値となるか？
• RQ5 これらの結果は距離彩色およびハドウィガー予想の近似版とどのように関連するか？

主な発見

• 任意の有界拡張性クラス 𝒦 および奇数 p ≥ 1 に対して、整数 N = N(𝒦, p) が存在し、すべての G ∈ 𝒦 で奇数の周囲(G) > p を満たす場合に χ(G^{\natural p}) ≤ N が成り立つ。
• 任意の有界拡張性クラス 𝒦 および奇数 p ≥ 1 に対して、整数 N′ = N′(𝒦, p) が存在し、すべての G ∈ 𝒦 に対して χ(G^{[\natural p]}) ≤ N′ が成り立つ。
• 任意の有界拡張性クラス 𝒦 およびすべての p ≥ 1 に対して、有限な N が存在し、すべての G ∈ 𝒦 は N 色で頂点彩色可能であり、任意の j 個の色クラス上での誘導部分グラフが、木深さ p のグラフからなる有限集合 D̂_p に属するグラフとホモモルフィズム同値となる。
• 構造的分解により、少数の色クラス上での誘導部分グラフの成分タイプの数が有限であり、一様に有界であることが示される。
• これらの結果は、以前の有界次数およびマイナー閉じたクラスに対する双対性を一般化し、スパースグラフに対する正則分割フレームワークを提供する。
• このフレームワークは定理 4.2 の別証明を可能にし、系列並列グラフにおけるホモモルフィズム順序の普遍性に関連付ける。