[論文レビュー] Grad-Shafranov Approach To Axisymmetric Stationary Flows In Astrophysics

В. С. Бескин|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2004

Astrophysical Phenomena and Observations参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、回転するブラックホールの近傍における軸対称的・定常的磁気流体力学（MHD）および流体力学的流れをモデル化するため、Grad-Shafranov法を展開する。非定常流れに対するGrad-Shafranov方程式を定式化し、未知の特異面と結合された境界条件による解法における主な課題を特定し、Blandford-Znajek機構によるエネルギー抽出の分析にその有効性を示す。その結果、極端なブラックホールは最適な条件下でEddington限界の放射度に達することが示された。

ABSTRACT

My lecture is devoted to the analytical results available for a large class of axisymmetric stationary flows in the vicinity of compact astrophysical objects. First, the most general case is formulated corresponding to the axisymmetric stationary MHD flow in the Kerr metric. Then, I discuss the hydrodynamical version of the Grad-Shafranov equation. Although not so well-known as the full MHD one, it allows us to clarify the nontrivial structure of the Grad-Shafranov approach as well as to discuss the simplest version of the 3+1-split language -- the most convenient one for the description of ideal flows in the vicinity of rotating black holes. Finally, I consider several examples that demonstrate how this approach can be used to obtain the quantitative description of the real transonic flows in the vicinity of rotating and moving black holes.

研究の動機と目的

• コンパクト天体、特に回転するブラックホールの近傍における軸対称的・定常的MHDおよび流体力学的流れに、Grad-Shafranov法を発展・適用すること。
• 流体力学的極限におけるGrad-Shafranov方程式の数学的構造を明確にし、非定常流れを記述する役割を明らかにすること。
• 特異面の位置が事前に不明な状態で、Grad-Shafranov問題の直接的定式化における未知の特異面と境界条件の特定という課題に対処すること。
• 本手法が、若木星からのジェットや回転するブラックホールからのエネルギー抽出といった実天体系に適用可能であることを示すこと。
• Blandford-Znajek機構が因果律を損なわず、極端な条件下でEddington限界の放射度を発生させることを示すこと。

提案手法

• lapse 関数 α、角速度 ω、および計量成分 grr, gθθ, gφφ を用いて、Kerr計量内での軸対称的定常MHD流れを定式化する。
• 極座標方向の流れ構造に対するGrad-Shafranov方程式を導出し、保存量の積分を自由関数として扱う非線形で混合型の偏微分方程式（PDE）として扱う。
• 3+1分割形式を用いて、回転するブラックホール近傍の理想流体の記述を簡略化する。
• 球対称的降着をゼロ次近似解として用い、特異面の位置と保存量の積分を近似する。
• 力自由極限を組み込み、内部光円筒面と高速磁気音速面がエネルギー抽出に果たす役割を分析する。
• 導出された場の構造を用いてBlandford-Znajekエネルギー損失率を評価し、極端なパラメータ下でEddington放射度と整合的であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kerr計量内での非定常流体力学的およびMHD的流れに、Grad-Shafranov方程式を一貫して適用する方法は何か？
• RQ2 境界条件が必要となるが、特異面の位置が事前に不明な場合、それらの境界条件は解にどのように制約を加えるか？
• RQ3 Blandford-Znajek機構による回転するブラックホールからのエネルギー抽出を、因果律の破綻を伴わずGrad-Shafranov法で記述できるか？
• RQ4 ブラックホール磁気圏内での磁場構造は、電磁気的エネルギー抽出の効率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 どのような極端な条件下で、Blandford-Znajek機構がEddington限界の放射度を発生させることができるか？

主な発見

• Kerr計量内での非定常流れに対するGrad-Shafranov方程式は、特異面で楕円型から双曲型に遷移する非線形で混合型のPDEであり、境界条件の取り扱いに注意を要する。
• 速度成分とベルヌーイ積分が互いに依存するため、Grad-Shafranov問題の直接的定式化は非自明であり、それらを独立に指定することはできない。
• 球対称解からの弱い発散流に対しては、境界条件から特異面の位置と保存量の積分を特定でき、解析的解が得られる。
• Blandford-Znajekエネルギー損失率は $ W_{\rm BZ} \approx 10^{45} \left(\frac{a}{M}\right)^2 \left(\frac{B_0}{10^4\,{\rm G}}\right)^2 \left(\frac{M}{10^9M_\odot}\right)^2 \,{\rm erg/s} $ で与えられ、$ a = M $、$ B_0 \approx B_{\rm Edd} $、$ M \sim 10^9 M_\odot $ のときEddington放射度と一致する。
• Blandford-Znajek機構の因果律は保たれている。なぜなら、臨界面が事象の地平線の外側にあり、外側磁気圏の因果的領域内にあるからである。
• 数値結果により、プラズマで満たされた磁気圏内を通過する磁力線が内部光円筒面を通過する場合、同時に事象の地平線をも通過することが確認され、効率的なエネルギー抽出が可能であることが裏付けられた。