[論文レビュー] Graded algebraic structure in the canonical formulation of N = 3 chiral supergravity

Motomu Tsuda|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、第1階層のキラルラグランジアンからN=3キラル超重力のAshtekar正準形式を導出し、スケーリングされた右・左ヘンドドスーパーレジリティ制約が非多項式的要因 $ E^{-2} $ を因数分解することで多項式的になることを示している。制約代数にOsp(3/2)の階数付き代数的構造が存在することを特定したが、ガウス、SU(2)ゲージ、および右ヘンドスーパーレジリティ制約の部分代数は、左ヘンドスーパーレジリティ制約に比例する項のため閉じていない。

ABSTRACT

We focus on N = 3 chiral supergravity (SUGRA) which is the lowest N theory involving a spin-1/2 field, and derive the Ashtekar's canonical formulation of N = 3 SUGRA starting with the chiral Lagrangian constructed by closely following the standard SUGRA. The polynomiality of constraints in terms of canonical variables and the graded algebraic structure of constraints are discussed in the canonical formulation. In particular, we show the polynomiality of the {\it rescaled} right- and left-handed SUSY constraints by a nonpolynomial factor. And also we show the graded algebraic structure of Osp(3/2) in the constraint algebra by calculating the Poisson brackets of Gauss, SU(2) gauge and right-handed SUSY constraints, although the algebra among only those three types of constraints does not closed.

研究の動機と目的

• 第1階層のキラルラグランジアンを用いてN=3キラル超重力の正準形式を導出し、Ashtekar形式を高N超重力に拡張すること。
• 正準変数における制約の多項式性を調査し、特にスーパーレジリティ制約に現れる非多項式的要因 $ E^{-2} $ に注目すること。
• N=3の場合における制約代数の階数付き代数的構造を分析し、Osp(3/2)対称性の役割に焦点を当てる。
• ガウス、SU(2)ゲージ、および右ヘンドスーパーレジリティ制約の部分代数が閉じるかどうかを特定し、もしそうでなければ非閉じの原因を同定すること。
• Osp(3/2)に関連する階数付き変数を用いた正準量子化および正確な量子制約解の構成の基盤を築くこと。

提案手法

• Ref. [31] で構築されたN=3超重力のキラルラグランジアンを出発点とし、補助場を含まない自己双対的スピン接続とスピン1/2場を含む。
• 正準解析を実施し、全セットの第一種制約（ガウス則、SU(2)ゲージ、ハミルトニアン、および右・左ヘンドスーパーレジリティ制約）を同定する。
• 右・左ヘンドスーパーレジリティ制約を非多項式的要因 $ E^{-2} $ の逆数でスケーリングすることで、正準変数における多項式的形に変換する。
• ガウス、SU(2)ゲージ、および右ヘンドスーパーレジリティ制約の間のポアソン括弧を計算し、制約代数の代数的構造を調査する。
• 括弧計算から得られた明示的構造定数を用いて、制約生成子間のポアソン括弧関係からOsp(3/2)リーレイ・スーパー代数構造を同定する。
• 右ヘンドスーパーレジリティ制約とガウスおよびSU(2)ゲージ制約のポアソン括弧を検討することで、制約代数の閉じるか否かを分析し、左ヘンドスーパーレジリティ制約に比例する非ゼロ項が現れるのを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第1階層のキラルラグランジアンからN=3キラル超重力の正準形式を一貫して導出可能であり、その結果得られる制約は何か？
• RQ2 右・左ヘンドスーパーレジリティ制約は正準変数において多項式的か、それとも多項式化のためのスケーリングが必要か？
• RQ3 N=3 SUGRAにおけるガウス、SU(2)ゲージ、および右ヘンドスーパーレジリティ制約の部分代数は閉じるか？もしそうでなければ、非閉じの原因は何か？
• RQ4 N=3キラル超重力の制約代数に、特にOsp(3/2)のような階数付き代数的構造が存在するか？N=1およびN=2の場合と比較するとどうなるか？
• RQ5 Osp(3/2)の階数付き代数が、正準量子化および正確な量子制約解の構成の基盤として利用可能か？

主な発見

• 右・左ヘンドスーパーレジリティ制約は正準変数において多項式的でないが、非多項式的要因 $ E^{-2} $ でスケーリングすることで多項式的になる。
• ガウス、SU(2)ゲージ、および右ヘンドスーパーレジリティ制約の間のポアソン括弧代数は、括弧計算から得られた構造定数および非可換関係から、Osp(3/2)に同型な階数付き構造を示している。
• ガウス、SU(2)ゲージ、および右ヘンドスーパーレジリティ制約からなる部分代数は、ポアソン括弧 $ iglracevert {}^{R}{ ilde{f S}}^{(I)}_{A}, ext{Gauss} igrracevert $ に現れる左ヘンドスーパーレジリティ制約に比例する項のため閉じていない。
• 非閉じは特に式 (4.22) の最後の項に起因し、左ヘンドスーパーレジリティ制約 $ {}^{L}{ ilde{f S}}^{(I)}_{A} $ を含むため、制約代数全体が閉じるためにはすべての制約を含める必要がある。
• 制約代数全体としては閉じると予想されるが、Osp(3/2)の階数付き構造は3つの制約タイプの部分代数では部分的にしか実現されていないため、より複雑な閉じるメカニズムが存在する可能性がある。
• 本結果は、Ashtekarの正準形式の枠組みをN=3キラル超重力に拡張し、今後のOsp(3/2)共変変数を用いた正準量子化および量子制約解の構成の基盤を提供する。