[論文レビュー] Graded cellular bases for the blob algebra

David Plaza, Steen Ryom-Hansen|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、タイプ$A$のTemperley-Lieb代数とタイプ$B$のblob代数（Temperley-Lieb代数）が根の単位において$\mathbb{Z}$-graded代数であることを確立し、さらにそれらがgraded cellular代数であることを証明する。この構造により、それらのセルモジュール（標準モジュールとも呼ばれる）に自然な次数が与えられ、根の単位における表現論が洗練される。

ABSTRACT

We show that the Temperley-Lieb algebra of type $A$ and the blob algebra (also known as the Temperley-Lieb algebra of type $ B$) at roots of unity are $ \mathbb Z$-graded algebras.We moreover show that they are graded cellular algebras, thus making their cell modules, or standard modules, graded modules for the algebras.

研究の動機と目的

• タイプ$A$のTemperley-Lieb代数が根の単位において$\mathbb{Z}$-gradingをもつことを確立すること。
• このgradingを根の単位におけるblob代数（タイプ$B$のTemperley-Lieb代数）に拡張すること。
• 両代数がこのgradingに関してgraded cellular代数であることを示し、gradedモジュールを用いた表現論を豊かにすること。
• これらの代数のセルモジュール（標準モジュール）が代数的構造から自然に次数を引き継ぐこと。

提案手法

• Temperley-Lieb代数の標準的なセルラーベースを用いて、図式的生成子による$\mathbb{Z}$-gradingを定義する。
• B型関係に対応する追加の生成子を用いてセルラーベースを拡張し、blob代数に整合性のあるgradingを構成する。
• gradingが代数の積とセルラービリティ条件を満たすことを検証する。
• graded cellular代数の理論を応用し、セルモジュールがgradedモジュールに成ることを示す。
• 図式的計算を用いて基底要素の次数を追跡し、gradingの公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ$A$のTemperley-Lieb代数が根の単位において$\mathbb{Z}$-gradingをもつことができるか？
• RQ2 根の単位におけるblob代数（タイプ$B$のTemperley-Lieb代数）は、その代数的構造と整合性のある$\mathbb{Z}$-gradingをもつことができるか？
• RQ3 このgradingに関して、これらの代数はgraded cellular代数であるか？
• RQ4 構築されたgradingの下で、これらの代数のセルモジュールはgradedモジュールとなるか？

主な発見

• タイプ$A$のTemperley-Lieb代数が根の単位において、そのセルラーベース上の図式的gradingによって$\mathbb{Z}$-graded代数である。
• 根の単位におけるblob代数も、タイプ$A$の場合に拡張されたgradingを用いて$\mathbb{Z}$-graded代数である。
• 両代数はgraded cellular代数の公理を満たしており、gradingとセルラービリティ構造の整合性が保証される。
• これらの代数のセルモジュール（標準モジュール）は自然に次数構造を備えており、gradedモジュールとしての性質を有する。