[論文レビュー] Graded contact manifolds and principal Courant algebroids

Janusz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、接触構造およびジャコビ構造のための段階的スーパー多様体枠組みを導入し、接触多様体をシンプレクティックな主GL(1,R)-束として解釈する。線形接触構造がラインバンドルの1次ジャンプに自然に備わる接触構造にちょうど一致することを示し、ベクトル場の代わりに1次微分作用素を持つリー代数ダルの一般化であるキリロフ代数ダルを定義し、持ち上げ手順を用いて接触版のコーラント代数ダルを構成する。

ABSTRACT

We develop a systematic approach to contact and Jacobi structures on graded supermanifolds. In this framework, contact structures are interpreted as symplectic principal GL(1,R)-bundles. Gradings compatible with the GL(1,R)-action lead to the concept of a graded contact manifold, in particular a linear (more generally, n-linear) contact structure. Linear contact structures are proven to be exactly the canonical contact structures on first jets of line bundles. They provide linear Kirillov (or Jacobi) brackets and give rise to the concept of a Kirillov algebroid, an analog of a Lie algebroid, for which the corresponding cohomology operator is represented not by a vector field (de Rham derivative) but a first-order differential operator. It is shown that one can view Kirillov or Jacobi brackets as homological Hamiltonians on linear contact manifolds. Contact manifolds of degree 2 are studied, as well as contact analogs of Courant algebroids. We define lifting procedures that provide us with constructions of canonical examples of the structures in question.

研究の動機と目的

• 段階的スーパー多様体上の接触構造およびジャコビ構造の体系的枠組みを構築すること。
• 接触構造をGL(1,R)-作用と整合する次数付き構造を持つシンプレクティック主GL(1,R)-束として解釈すること。
• 線形接触構造がラインバンドルの1次ジャンプに備わる自然な接触構造にちょうど一致することを特徴づけること。
• コホモロジー作用素がベクトル場ではなく1次微分作用素であるという点で、リー代数ダルの一般化としてキリロフ代数ダルを定義すること。
• 持ち上げ手順を用いて接触版のコーラント代数ダルを構成し、標準的例を提供すること。

提案手法

• 接触構造を段階的スーパー多様体上のシンプレクティック主GL(1,R)-束として表現すること。
• GL(1,R)-作用と整合する次数を用いて、次数付き接触多様体（線形およびn-線形構造を含む）を定義すること。
• 線形接触構造をラインバンドルの1次ジャンプバンドルに備わる自然な接触構造として特徴づけること。
• コホモロジー作用素がベクトル場ではなく1次微分作用素である構造としてキリロフ代数ダルをモデル化すること。
• シンプレクティック構造を介して、線形接触多様体上のジャコビ括弧をホモロジー的ハミルトニアンとして解釈すること。
• 段階的シンプレクティック枠組みからの持ち上げ手順を用いて、接触版のコーラント代数ダルを構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 段階的スーパー多様体上の接触構造は、主GL(1,R)-束を用いてどのように体系的に記述できるか？
• RQ2 線形接触構造とラインバンドルの1次ジャンプの間の正確な関係は何か？
• RQ3 コホモロジー作用素が1次微分作用素である場合、キリロフ代数ダルはリー代数ダルをどのように一般化するか？
• RQ4 線形接触多様体上でジャコビ括弧はどのようにホモロジー的ハミルトニアンとして生じるか？
• RQ5 接触版のコーラント代数ダルの構造的およびコホモロジー的性質は何か？

主な発見

• 線形接触構造は、ラインバンドルの1次ジャンプバンドルに備わる自然な接触構造にちょうど一致する。
• キリロフ代数ダルは、コホモロジー作用素がベクトル場ではなく1次微分作用素であるという点で、リー代数ダルの自然な一般化として同定される。
• 段階的スーパー多様体上のジャコビ括弧は、シンプレクティック構造を介して線形接触多様体上のホモロジー的ハミルトニアンとして解釈可能である。
• 次数2の接触多様体は、接触版のコーラント代数ダルの自然な構成を許容する。
• 段階的接触構造およびキリロフ代数ダル構造の標準的例を生成する持ち上げ手順が確立された。
• この枠組みは、整合する次数付きを持つシンプレクティック主GL(1,R)-束として、ジャコビ構造の幾何的実現を提供する。