[論文レビュー] Graded quotients of ramification groups of local fields with imperfect residue fields

Takeshi Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p > 0$ の不完全な残渣体をもつヘンゼル型離散付値体における分岐群の階数付き商が $\mathbf{F}_p$-ベクトル空間であることを証明する。2通りの証明——完全な残渣体への還元と余接複体による幾何的構成——を用い、各階数付き商の字余型群からねじれ付き余接空間への単射を構成する。これはカトウの精密化されたスワン乗数を一般化し、混合特徴値における特徴的サイクルの未来の構成を可能にする。

ABSTRACT

We prove that the graded quotients of the filtration by ramification groups of any henselian discrete valuation field of residue characteristic $p>0$ are $F_p$-vector spaces. We define an injection of the character group of each graded quotient to a twisted cotangent space defined using a cotangent complex.

研究の動機と目的

• ヘンゼル型離散付値体に付随する不完全な残渣体をもつ局所体における分岐群の階数付き商が $\mathbf{F}_p$-ベクトル空間であることを確立すること。
• 余接複体を用いた幾何的構成により、非完全な残渣体への精密化されたスワン乗数の一般化を達成すること。
• 古典的完全な残渣体の場合への還元を用いて、上付き番号付け分岐フィルトレーションの関手的特徴づけを提供すること。
• 混合特徴値における可解的層の特徴的サイクルを (4.20) の単射を用いて構成する基盤を築くこと。

提案手法

• 余接複体の関手的性質を活用し、完全な残渣体をもつ接線的優越拡張 $K'$ を構成することで、古典的状況への還元を行う。
• 体 $\bar{F}$ 上のベクトル空間 $\Theta^{(r)}$ におけるガロア被覆を、ガロア群 $\mathrm{Gr}^rG$ をもつ滑らかな群スキーム構造を用いて幾何的に構成する。
• 第2.2節の一般基準を適用し、被覆が群スキームの準同型であることを示し、余接複体における $\mathrm{Tor}_1$-計算の利用を可能にする。
• 特徴形式 (4.20) を、$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr}^rG, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+}, H_1(L_{\bar{F}/S}))$ として定義し、余接複体 $L_{\bar{F}/S}$ から導出する。
• exact sequence (0.1) を用い、$H_1(L_{\bar{F}/S})$、$\mathfrak{m}_K / \mathfrak{m}_K^2 \otimes_F \bar{F}$、および $\Omega^1_F \otimes_F \bar{F}$ を関連づけ、接空間と余接複体を結びつける。
• 拡張体に関する基底変換に関して (4.20) の単射の関手的性質を示し、(4.19) および (4.23) の可換図式により分岐指数のスケーリングにおける整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値 $p > 0$ の不完全な残渣体をもつヘンゼル型離散付値体におけるガロア群の上付き番号付け分岐フィルトレーションの階数付き商 $\mathrm{Gr}^rG = G^r / G^{r+}$ は、必ず $\mathbf{F}_p$-ベクトル空間であるか？
• RQ2 余接複体を用いた幾何的構成により、非完全な残渣体への精密化されたスワン乗数の一般化は可能か？
• RQ3 $\mathrm{Gr}^rG$ の字余型群からねじれ付き余接空間への単射 (4.20) は、分岐フィルトレーションの標準的かつ関手的不変量を提供するか？
• RQ4 接線的優越拡張は、一般状況を古典的完全な残渣体の場合へ還元するために果たす役割は何か？
• RQ5 野生的ピグネーション群 $P = G^{1+}$ は $\mathrm{Gr}^rG$ にどのように作用するか？ また、これにより分岐指数および $r$ の分母に課される制約は何か？

主な発見

• すべての $r > 1$ に対して、階数付き商 $\mathrm{Gr}^rG = G^r / G^{r+}$ が $\mathbf{F}_p$-ベクトル空間であることが証明され、完全な残渣体の場合の古典的結果が拡張される。
• 単射 (4.20) が構成される：$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr}^rG, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+}, H_1(L_{\bar{F}/{\mathcal{O}}_K}))$。これはカトウの非対数的精密化されたスワン乗数を一般化する。
• 拡張体に関する基底変換に関して (4.20) の単射が整合的であることが、可換図式 (4.19) により示され、関手的性質が保証される。
• 野生的ピグネーション群 $P = G^{1+}$ は $\mathrm{Gr}^rG$ に自明に作用する。さらに $\mathrm{Gr}^rG \neq 1$ ならば、$r$ の分母の $p$ と互いに素な部分は分岐指数 $e_{L/K}$ に割り切れる。
• $e_{K'/K} \neq 1$ である拡張 $K' / K$ に対して、(4.20) の合成写像 $H_1(L_{\bar{F}/{\mathcal{O}}_K}) \to \Omega^1_{S/S_0} \otimes_{\mathcal{O}_S} \bar{F}$ を通じて得られる単射 (4.22) も、関手的である。
• $H_1(L_{\bar{F}/S})$ の対称代数 $S(H_1(L_{\bar{F}/S}))$ を用いた接空間 $\Theta_{K,\bar{F}} = \mathrm{Spec}\, S(H_1(L_{\bar{F}/S}))$ の構成により、分岐データの幾何的モデルが得られ、$H_1(L_{\bar{F}/S})$ は exact sequence (0.1) に含まれる。