[論文レビュー] Gradient blow-up rates and sharp gradient estimates for diffusive Hamilton-Jacobi equations

Amal Attouchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$2 < p < 3$ における有界な凸領域における拡散型ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $u_t - \Delta u = |\nabla u|^p + h(x)$ の古典解について、鋭い勾配爆発レートを確立する。時間増加解に関して、最適な時間的推定 $\|\nabla u(t)\|_\infty \sim (T-t)^{-1/(p-2)}$ を証明する。また、境界までの距離を含む鋭い定数を有する新しいベルンシュタイン型勾配推定式を導入し、空間的および時間的爆発行動の関係を初めて明確にした。

ABSTRACT

Consider the diffusive Hamilton-Jacobi equation $$u_t-\\Delta u=|\ abla u|^p+h(x)\\ \\ \ ext{ in } \\Omega\ imes(0,T)$$ with Dirichlet conditions, which arises in stochastic control problems as well as in KPZ type models. We study the question of the gradient blowup rate for classical solutions with $p&gt;2$. We first consider the case of time-increasing solutions. For such solutions, the precise rate was obtained by Guo and Hu (2008) in one space dimension, but the higher dimensional case has remained an open question (except for radially symmetric solutions in a ball). Here, we partially answer this question by establishing the optimal estimate $$C_1(T-t)^{-1/(p-2)}\\leq \\|\ abla u(t)\\|_{\\infty} \\leq C_2(T-t)^{-1/(p-2)} \ ag{1}$$ for time-increasing gradient blowup solutions in any convex, smooth bounded domain $\\Omega$ with $2&lt;p&lt;3$. We also cover the case of (nonradial) solutions in a ball for $p=3$. Moreover we obtain the almost sharp rate in general (nonconvex) domains for $2&lt;p\\le 3$. The proofs rely on suitable auxiliary functionals, combined with the following, new Bernstein-type gradient estimate with sharp constant: $$|\ abla u|\\le d_\\Omega^{-1/(p-1)}\\bigl(d_p+C d_\\Omega^\\alpha\\bigr) \\ \\ \ ext{ in } \\Omega\ imes(0,T),\\qquad d_p=(p-1)^{-1/(p-1)}, \ ag{2}$$ where $d_\\Omega$ is the function distance to the boundary. This close connection between the temporal and spatial estimates (1) and (2) seems to be a completely new observation. Next, for any $p&gt;2$, we show that more singular rates may occur for solutions which are $\ extit{not}$ time-increasing. Namely, for a suitable class of solutions in one space-dimension, we prove the lower estimate $\\|u_x(t)\\|_\\infty \\geq C(T-t)^{-2/(p-2)}$.

研究の動機と目的

• 拡散型ハミルトニアン・ジャコビ方程式の古典解の空間的勾配の正確な時間的爆発レートを特定すること。
• 既知の1次元勾配爆発レートを高次元の凸領域へ拡張すること。
• 境界までの距離を含む最適定数を有する新しい鋭いベルンシュタイン型勾配推定式を確立すること。
• 時間増加でない解の分析を行い、より特異な爆発レートを同定すること。
• 新規の関数的推定式を通じて、空間的および時間的勾配爆発行動の関係を明確にすること。

提案手法

• 新しいベルンシュタイン型勾配推定式の導出：$|\nabla u| \leq d_\Omega^{-1/(p-1)}\bigl{(}d_p + C d_\Omega^\alpha\bigr{)}$ で、$d_p = (p-1)^{-1/(p-1)}$ であり、$d_\Omega$ は境界までの距離を表す。
• $\|\nabla u(t)\|_\infty$ の時間発展を制御し、上界および下界を導出するための補助的関数の構築。
• 最大原理の適用により、$u_t$ の時間微分を制御し、爆発時刻近傍におけるその消滅レートの上界を導出する。
• 1次元における最小勾配爆発解の対称性およびゼロ数性質を用いて、鋭い下界を確立する。
• 新規の勾配推定式と時間依存のエネルギー型推定式を組み合わせ、最適な爆発レートを導出する。
• 最小解における $t=T$ 近傍での $u_t$ の振る舞いの分析により、$u_t \leq M(T-t)$ を示し、$\|\nabla u(t)\|_\infty$ のより鋭い下界の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間増加解について、$2 < p < 3$ かつ $p>2$ の高次元凸領域における $\|\nabla u(t)\|_\infty$ の正確な時間的爆発レートは何か？
• RQ2 境界までの距離依存性を有する鋭い勾配推定式が、一般領域における最適な爆発レートの導出に利用可能か？
• RQ3 時間増加でない解は、標準的な $(T-t)^{-1/(p-2)}$ レートよりも特異性の高い勾配爆発レートを示すか？
• RQ4 空間的および時間的爆発行動の相互作用は、勾配推定式においてどのように現れるか？
• RQ5 初期データおよび解の対称性は、爆発プロファイルおよびレートを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 時間増加解について、$2 < p < 3$ かつ $p>2$ の滑らかで有界な凸領域において、勾配爆発レートは最適に推定され、$C_1(T-t)^{-1/(p-2)} \leq \|\nabla u(t)\|_\infty \leq C_2(T-t)^{-1/(p-2)}$ が成り立つ。
• 本稿は、$p \in (2,3)$ に対して高次元における最初の鋭い時間的爆発レートを確立し、以前の1次元結果を拡張した。
• 最適定数を有する新しいベルンシュタイン型勾配推定式が導出された：$|\nabla u| \leq d_\Omega^{-1/(p-1)}\bigl{(}(p-1)^{-1/(p-1)} + C d_\Omega^\alpha\bigr{)}$ であり、解析に不可欠である。
• 1次元における時間増加でない解について、より特異な爆発レートが示された：$\|u_x(t)\|_\infty \geq C(T-t)^{-2/(p-2)}$。
• 空間的勾配推定式と時間的爆発レートの関係が、新規かつ根本的な洞察として特定された。
• 証明は、最小勾配爆発解において $u_t$ の精密な上界 $u_t \leq M(T-t)$ を得ることに依拠しており、これによりより鋭い下界が導出可能となった。