[論文レビュー] Gradient estimate and log-Harnack inequality for reflected SPDEs driven by multiplicative noises

Bin Xie|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、罰則法と比較原理を用いて、乗法的ノイズを伴う反射確率偏微分方程式（SPDE）の勾配推定と対数ハーナック不等式を確立する。主な貢献は、強Feller性、不変測度の一意性、および不変測度に関する密度推定を意味する関数不等式の導出にある。

ABSTRACT

In this paper, the gradient estimate and the log-Harnack inequality for the stochastic partial differential equation with reflection and driven by multiplicative noises are mainly investigated. To our purposes, the penalization method and the comparison principle for stochastic partial differential equations are adopted. We also apply the log-Harnack inequality to the study of the strong Feller property, uniqueness of invariant measures, the entropy-cost inequality, and some estimates of the transition density relative to its invariant measure.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズによって駆動される反射SPDEの勾配推定と対数ハーナック不等式を導出すること。
• 関数不等式を用いて関連するマルコフ過程の長期的挙動を調査すること。
• 対数ハーナック不等式を用いて強Feller性と不変測度の一意性を確立すること。
• エントロピー・コスト不等式を用いて、不変測度に関する遷移密度の推定を提供すること。

提案手法

• 反射SPDEを、消えるドリフト補正項を伴う非反射SPDEの列に近似するために罰則法を用いる。
• SPDEの比較原理を適用して、解のパスワイズ挙動を制御し、収束を保証する。
• 遷移セミ群における勾配推定と伊藤の公式を用いて、対数ハーナック不等式を導出する。
• 対数ハーナック不等式を用いて、強Feller性とエントロピー・コスト不等式を導出する。
• 対数ハーナック不等式を用いて不変測度を分析し、一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射SPDEに乗法的ノイズが存在する場合、勾配推定はどのように確立できるか？
• RQ2 このようなSPDEにおける対数ハーナック不等式の構造は何か？ また、それらは根本的なダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ3 対数ハーナック不等式は、関連するマルコフ過程の強Feller性を示唆できるか？
• RQ4 対数ハーナック不等式は、不変測度の一意性をどの程度保証できるか？
• RQ5 対数ハーナック不等式は、不変測度に関する遷移密度を推定するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 乗法的ノイズを伴う反射SPDEの遷移セミ群に対して勾配推定が確立された。
• 罰則法と比較原理を用いて対数ハーナック不等式が導出された。
• 対数ハーナック不等式は、関連するマルコフ過程の強Feller性を示している。
• 対数ハーナック不等式の枠組みのもとで、不変測度の一意性が証明された。
• エントロピー・コスト不等式および不変測度に関する遷移密度の推定が、対数ハーナック不等式を用いて得られた。