[論文レビュー] Gradient estimates for singular $p$-Laplace type equations with measure data

Hongjie Dong, Hanye Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ の範囲で、測度データをもつ特異$p$-ラプラシアン型方程式の解について、鋭い内部およびグローバル勾配推定を確立する。これは、以前は未解決の範囲であった。先行研究を改善するため、係数のDini型連続性条件を弱めるとともに、モジュラスの連続性に関するより弱い可積分性仮定のもとで、Wolffポテンシャルの代わりに切り捨てられたRieszポテンシャル $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$ を用いる。

ABSTRACT

We are concerned with interior and global gradient estimates for solutions to a class of singular quasilinear elliptic equations with measure data, whose prototype is given by the $p$-Laplace equation $-Δ_p u=μ$ with $p\in (1,2)$. The cases when $p\in \big(2-\frac 1 n,2\big)$ and $p\in \big(\frac{3n-2}{2n-1},2-\frac{1}{n}\big]$ were studied in [9] and [22], respectively. In this paper, we improve the results in [22] and address the open case when $p\in \big(1,\frac{3n-2}{2n-1}\big]$. Interior and global modulus of continuity estimates of the gradients of solutions are also established.

研究の動機と目的

• 特異$p$-ラプラシアン方程式の測度データに対する勾配推定の未解決問題を、$p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ の範囲で取り上げる。これは、先行研究では完全にカバーされていなかった範囲である。
• 文献[22]の結果を改善し、ベクトル場 $A(x,\xi)$ およびモジュラスの連続性 $\omega$ の正則性仮定を弱める。
• 最小限の構造的および正則性条件のもとで、解の勾配の内部およびグローバルなモジュラスの連続性推定を確立する。
• 切り捨てられた1階Rieszポテンシャル $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$ を用いて点ごとの勾配境界を導出する。これは、以前に用いられたWolffポテンシャルよりも自然で強力である。

提案手法

• 特異$p$-ラプラシアン方程式（$p \in (1,2)$）の文脈において、修正された反復法を用いて内部の点ごとの勾配推定を導出する。
• 勾配の成長を制御する主なポテンシャルとして、切り捨てられたRieszポテンシャル $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)(x) = \int_0^R \frac{|\mu|(B_t(x))}{t^{n-1}} \frac{dt}{t}$ を用いる。
• 勾配の振動を制御するため、$|\nabla u|+s$ の $L^{2-p}$-ノルムとRieszポテンシャルの $L^\infty$-ノルムを組み合わせた新しい最大関数 $\mathbf{M}_1$ を導入する。
• 球上でダイアディック分解と平均化技術を用いて $\nabla u$ の振動を制御し、Dini条件 $\int_0^1 \omega(r) \frac{dr}{r} < \infty$ に依存する。
• 局所化された推定を得るため、修正されたWolffポテンシャル $\tilde{\mathbf{W}}_{1/p,p}^\rho(|\mu|)$ およびRieszポテンシャル $\tilde{\mathbf{I}}_1^\rho(|\mu|)$ を定義する。
• 勾配の振動の減衰とポテンシャル項の減衰を組み合わせることで、$\alpha_1 \in (0,\alpha)$ を用いたHölder型制御のもとで、グローバルなモジュラスの連続性推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異$p$-ラプラシアン方程式の測度データに対する鋭い点ごとの勾配推定は、$p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ の範囲で確立可能か？
• RQ2 以前の結果で用いられたWolffポテンシャルの依存関係を、より自然で強いRieszポテンシャル $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$ に置き換えることは、正則性仮定を弱める条件下で可能か？
• RQ3 測度データ $\mu$ およびDiniモジュラス $\omega$ に関して、$\nabla u$ の最適なモジュラスの連続性は何か？
• RQ4 特に特異範囲 $p \in (1,2)$ において、$A(x,\xi)$ および $\omega$ の正則性仮定を、先行研究と比較して弱めることができるか？
• RQ5 勾配の振動は小さな球内でどのように減衰するのか？また、$\omega$ におけるDini条件はこの減衰にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、新しい内部点ごとの勾配推定を確立する：$p \in (\frac{3n-2}{2n-1}, 2)$ に対して、Lebesgue点において $|\nabla u(x)| \leq C[\mathbf{I}_1^R(|\mu|)(x)]^{1/(p-1)} + C\left(\fint_{B_R(x)}(|\nabla u|+s)^{2-p}\,dy\right)^{1/(2-p)}$ が成り立つ。
• Wolffポテンシャル $\mathbf{P}_\gamma^R(|\mu|)$ よりも強い制御をRieszポテンシャル $\mathbf{I}_1^R(|\mu|)$ が提供する。実際、$\gamma < 1$ のとき $\mathbf{I}_1^R(|\mu|) \leq C \mathbf{P}_\gamma^{2R}(|\mu|)^{1/\gamma}$ が成り立ち、新しい境界は $\omega$ および $A$ に対するより弱い仮定のもとで成立する。
• グローバルなモジュラスの連続性推定が導出される：$|\nabla u(x) - \nabla u(y)| \leq C \left[ \left(\frac{\rho}{R}\right)^{\alpha_1} + \int_0^\rho \frac{\tilde{\omega}_1(t)}{t} dt \right] + C \|\tilde{\mathbf{W}}_{1/p,p}^\rho(|\mu|)\|_{L^\infty} + C \mathbf{M}_1^{2-p} \|\tilde{\mathbf{I}}_1^\rho(|\mu|)\|_{L^\infty}$、ただし $\rho = |x-y|$ であり、Dini連続性および $\alpha_1$-Hölder制御のもとで成立する。
• 推定式の定数は $n, p, \lambda, \omega$, および $R_0$ のみに依存し、[22]で必要とされたより強いDini型条件 $\int_0^1 \omega^\gamma(r) \frac{dr}{r} < \infty$ は不要である。
• 結果は、$p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}]$ の全範囲にまで拡張され、特異$p$-ラプラシアン方程式の測度データに関する文献における空白を埋める。
• 本手法は、振動を制御するための新規なダイアディック分解および最大関数技術に依拠しており、主な革新点は特異領域におけるWolffポテンシャルの代わりにRieszポテンシャルを用いることにある。