[論文レビュー] Gradient flow of the norm squared of a moment map

Eugene Lerman|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック多様体上のモーメント写像のノルムの二乗の勾配フローが、各安定多様体 $ S_C $ をそれに対応する臨界集合 $ C $ に変形再びする、すなわちフローがモーメント写像のゼロレベル集合への強い変形再びを提供することを証明している。この結果は、ロジャシュェヴィッチの勾配不等式を局所的解析関数へと拡張し、勾配フローの力学的性質を用いてシンプレクティック商の位相的性質を制御可能にする。

ABSTRACT

We present a proof due to Duistermaat that the gradient flow of the norm squared of the moment map defines a deformation retract of the appropriate piece of the manifold onto the zero level set of the moment map. Duistermaat's proof is an adaptation of Lojasiewicz's argument for analytic functions to functions which are locally analytic.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体をモーメント写像のゼロレベル集合へ勾配フローを用いて位相的変形再びすることを確立すること。
• ロジャシュェヴィッチの勾配不等式を解析的関数から、||\mu||^2 に適用可能な局所的解析関数へと拡張すること。
• 臨界成分 $ ||\mu||^2 $ に関連する安定多様体 $ S_C $ の位相的構造を厳密に正当化すること。
• シンプレクティック商および GIT 商の位相的性質を理解するための幾何学的・解析的基盤を提供すること。

提案手法

• 局所的解析関数に適応されたロジャシュェヴィッチの勾配不等式を適用し、臨界集合への距離を用いた勾配の下界を確立する。
• 臨界成分の近傍で、$ f = ||\mu||^2 $ に対して不等式 $ ||\nabla f(y)|| \geq c |f(y) - b|^{\alpha} $ を用いる。ここで $ 0 < \alpha < 1 $ である。
• 勾配フロー $ -\nabla ||\mu||^2 $ に不等式を適用し、軌道の $ \omega $-極限が臨界成分上に存在することを示す。
• フローの極限を用いて連続な再び $ \phi_\infty: S_C \to C $ を構成し、一様推定を用いて連続性を証明する。
• 写像 $ (t, y) \mapsto \phi_t(y) $ が $ [0, \infty] \times S_C $ 上で連続であることを示すことにより、フローが強い変形再びを定義することを確認する。
• 関数 $ f = ||\mu||^2 $ の正規性と臨界成分のコンパクト性を用い、勾配不等式を満たす有限個の局所的近傍で臨界成分を被覆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ||\mu||^2 の勾配フローは、多様体をモーメント写像のゼロレベル集合 $ \mu^{-1}(0) $ に変形再びするか？
• RQ2 ロジャシュェヴィッチの勾配不等式は、$ ||\mu||^2 $ のように局所的解析的関数に対しても拡張可能か？
• RQ3 臨界成分 $ C $ に流れつく点の集合として定義される安定多様体 $ S_C $ は、$ C $ に位相的に再び可能か？
• RQ4 勾配フローの軌道の $ \omega $-極限は、$ S_C $ 全体で一様に定義され、連続か？

主な発見

• ||\mu||^2 の勾配フローは、各安定多様体 $ S_C $ をそれに対応する臨界成分 $ C $ に強い変形再びする。
• すべての $ y \in S_C $ に対してフローの $ \omega $-極限が存在し、極限写像 $ \phi_\infty: S_C \to C $ は連続である。
• フロー写像 $ \phi: [0, \infty] \times S_C \to S_C $ は連続であり、$ S_C $ が $ C $ に変形再びされることを確認する。
• この証明は、コンパクトな臨界成分の近傍で有効な局所的ロジャシュェヴィッチ型不等式 $ ||\nabla f|| \geq c |f - b|^\alpha $（$ 0 < \alpha < 1 $）に依存する。
• この結果により、$ S_C $ が多様体であり、フローが位相的再びを提供することが確認され、$ ||\mu||^2 $ のモース＝ボット型構造が裏付けられる。