[論文レビュー] Gradings, smash products and Galois coverings of a small category

Claude Cibils, John MacQuarrie|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、群oidsのグレーディングとスモーズ積構成を用いて、小さな連結圏のガロア被覆を構成するための圏的枠組みを確立する。ガロア被覆の圏 𝔅 は、その基本群oids Q𝔅 の有効グレーディングの圏と同値であることを証明し、スモーズ積を用いて普遍被覆を明示的に構成可能であり、Cayley図を用いた具体的な例も提示する。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of coverings of a small connected category B. We show that the category of Galois coverings of B is equivalent to the category of Galois coverings of its fundamental groupoid. Making use of effective gradings of B we explicitly construct Galois coverings through a smash product analogous to the one considered in the linear case. In particular, the universal cover of B can be obtained from its fundamental groupoid.

研究の動機と目的

• 小さな連結圏の被覆理論を構築し、体上の線形圏における概念を拡張する。
• 圏 𝔅 のガロア被覆とその基本群oids Q𝔅 のガロア被覆との関係を関係づけ、圏の同値性を示す。
• 有効グレーディングに基づくスモーズ積構成を用いて、ガロア被覆を明示的に構成する。
• 基本群oids に関するスモーズ積として、圏の普遍被覆を特徴付ける。
• 2つの対象とそれらの間の任意の射をもつ圏の普遍被覆が、Cayley図を用いてどのように記述できるかを示す。

提案手法

• 小さな圏 𝔅 の基本群oids を、分数圏 Q𝔅 を用いて構成し、これは任意の対象における基本群と同型である。
• 群oids による 𝔅 のグレーディングを、 𝔅 から群oids への関手として定義し、k-圏における線形群グレーディングを一般化する。
• スモーズ積構成を、圏の圏としてのコママ圏として定義し、群oids グレーディングから 𝔅 の被覆を導出する。
• グレーディングから得られる被覆が連結であるための必要十分条件として、グレーディングが全関手を介して Q𝔅 に因数分解すること（有効グレーディングと呼ばれる）を示す。
• Q𝔅 の普遍性を応用し、グレーディングが有効かつ普遍的である場合、スモーズ積構成が普遍被覆を与えることを示す。
• 自由群のCayley図を用いて、2つの対象とそれらの間の任意の射をもつ圏の普遍被覆を幾何的に記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア被覆を、グレーディングなどの代数的構造を用いて、どのように体系的に構成できるか？
• RQ2 ガロア被覆とその基本群oids のガロア被覆との間の明確な関係は何か？
• RQ3 群oids グレーディングが、圏の被覆を連結に与えるための条件は何か？
• RQ4 カテゴリカルな構成を用いて、小さな圏の普遍被覆をどのように明示的に記述できるか？
• RQ5 Cayley図は、圏の普遍被覆の可視化および構成において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 小さな連結圏 𝔅 のガロア被覆の圏は、その基本群oids Q𝔅 のガロア被覆の圏と同値である。
• すべての 𝔅 のガロア被覆は、自由群作用による軌道圏と同型であり、これにより標準的な形が得られる。
• 有効グレーディングからのスモーズ積構成は、 𝔅 のガロア被覆を与えるが、すべてのこのような被覆はこの方法で得られる。
• 基本群oids Q𝔅 自身は有効グレーディングであり、スモーズ積 𝔅#_{b₀}Q𝔅 は 𝔅 の普遍被覆を与える。
• 2つの対象と、x から x₀ への射 E をもつ圏 𝔐_E に対して、普遍被覆は自由群 E∖{α} のCayley図の二重化であり、矢印は逆射によってラベル付けされる。
• この構成により、普遍被覆が基底対象の選び方に依存せず、基本群oids によって完全に決定されることを示している。