[論文レビュー] Graham-Witten's conformal invariant for closed four dimensional submanifolds

Yongbing Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンformally compact Einstein多様体内の最小曲面の体積正則化を用いて、4次元閉部分多様体におけるGraham-Wittenの共形不変量の明示的表現を導出する。最小曲面グラフの漸近展開における係数 $ u^{(4)} $ を計算し、ユークリッドな環境空間における不変量の臨界点を同定することで、$ \mathbb{S}^3(1)\times\mathbb{S}^1(r_2) $ や $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^2(1) $ といった明示的な臨界部分多様体が得られ、それらの不変量の値も計算されている。

ABSTRACT

It was proved by Graham and Witten in 1999 that conformal invariants of submanifolds can be obtained via volume renormalization of minimal surfaces in conformally compact Einstein manifolds. The conformal invariant of a submanifold $Σ$ is contained in the volume expansion of the minimal surface which is asymptotic to $Σ$ when the minimal surface approaches the conformaly infinity. In the paper we give the explicit expression of Graham-Witten's conformal invariant for closed four dimensional submanifolds and find critical points of the conformal invariant in the case of Euclidean ambient spaces.

研究の動機と目的

• コンformally compact Einstein多様体内の閉4次元部分多様体に対するGraham-Wittenの共形不変量の明示的公式を導出すること。
• 部分多様体上での最小曲面グラフの漸近展開における係数 $ u^{(4)} $ を計算し、共形不変量を決定すること。
• 臨界点方程式を解くことにより、ユークリッドな環境空間における共形不変量の臨界点を同定すること。
• 半径が異なる球面の積であるような特定の臨界部分多様体（例：$ \mathbb{S}^m(r_1) \times\cdots\times\mathbb{S}^1(r_k) $）に対する共形不変量の明示的値を計算すること。

提案手法

• 定義関数 $ r $ のべき級数として展開する $ \Sigma \times [0,\epsilon) $ 上の最小曲面 $ Y $ のグラフィック表現 $ y^\alpha = u^\alpha(x,r) $ の使用。
• 最小曲面方程式を適用して、$ n \geq 3 $ の場合の係数 $ u^{(4)} $ を導出する。ここには、部分多様体の第二基本形式、法接続、および環境空間の曲率テンソルが関与する。
• 共形不変量の変分をゼロと置くことで臨界点方程式 $ \mathcal{E} = 0 $ を導出し、球面積の半径に関する代数方程式に帰着する。
• 導出した公式と対称性の仮定を用いて、$ \mathbb{S}^m(r_1) \times \cdots \times \mathbb{S}^1(r_k) $ のようなさまざまな積多様体に対する共形不変量 $ \mathcal{L}_4 $ を明示的に計算する。
• 曲率不変量（シュタウエンのテンソル $ \overline{P} $、ウェイリ・テンソル $ \overline{W} $、クリスティオーフェル記号）を用いて、$ u^{(4)} $ を $ \Sigma $ 上の幾何学的データで表現する。
• 半径がゼロまたは無限大に近づく際の $ \mathcal{L}_4 $ の漸近的挙動を分析し、上からも下からも有界でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉4次元部分多様体の内在的・外在的幾何学的性質を用いて、Graham-Wittenの共形不変量の明示的表現は何か？
• RQ2 最小曲面展開における係数 $ u^{(4)} $ は、曲率および第二基本形式のデータからどのように計算できるか？
• RQ3 ユークリッドな環境空間における共形不変量の臨界部分多様体は何か。それらの幾何学的・位相的性質は何か？
• RQ4 球面の積 $ \mathbb{S}^3(1)\times\mathbb{S}^1(r_2) $ や $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^2(1) $ のような特定の多様体に対する共形不変量の明示的値は何か？
• RQ5 部分多様体の幾何学的構造が崩壊する場合（例：球面の半径がゼロまたは無限大に近づく場合）に、共形不変量はどのように振る舞うか？

主な発見

• 係数 $ u^{(4)} $ は曲率および第二基本形式の項の組み合わせとして明示的に計算され、$ 8n(n-2)u^{(4)} = \Delta^\perp H^\alpha + \cdots $ と表される。ここには法ラプラシアン、シュタウエンテンソル、ウェイリテンソルが関与する。
• $ n=2 $ の場合、対数係数 $ w_2 $ は $ w_2 = -\frac{1}{16}W $ であることが判明し、ここで $ W^\alpha $ は $ H^\alpha $、$ A_{ij} $、および $ \overline{W}_{i\beta j\gamma} $ を含む曲率の式である。
• $ \mathbb{S}^3(1)\times\mathbb{S}^1(r_2) $ に対する共形不変量 $ \mathcal{L}_4 $ は $ 2\pi^3 r_2 \left[ \frac{7}{16}(9 + \frac{1}{r_2^2})^2 - 27 - \frac{1}{r_2^4} \right] $ と与えられ、$ r_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} $ のとき $ \mathcal{L}_4 = 18\sqrt{3}\pi^3 $ となる。
• $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^2(1) $ に対しては不変量は $ \mathcal{L}_4 = 96\pi^2 $ となり、$ r_2 \to 0 $ または $ r_2 \to \infty $ のとき $ -\infty $ に近づく。
• $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times\mathbb{S}^1(\frac{1}{\sqrt{2}}) $ に対しては $ \mathcal{L}_4 = 48\pi^3 $、$ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times\mathbb{S}^1(\frac{3}{\sqrt{10}}) $ に対しては $ \frac{64\sqrt{5}}{3}\pi^3 $ となる。
• $ \mathbb{S}^1(1)^4 $ に対しては $ \mathcal{L}_4 = 24\pi^4 $、$ \mathbb{S}^1(1)^3 \times \mathbb{S}^1(\frac{3}{\sqrt{5}}) $ に対しては $ \frac{32\sqrt{5}}{3}\pi^4 $ であり、半径が変化する際、不変量は無限大に発散する。