[論文レビュー] Gramian-Based Model Reduction of Directed Networks

Xiaodong Cheng, Jacquelien M.A. Scherpen|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、頂点の類似度を定量化し、グラフクラスタリングを誘導するための擬似グラミアンを用いて、弱く結合された有向ネットワーク系に対する構造を保全するモデル低減手法を提案する。半安定系における擬似可制御性および可観測性グラミアンを定義し、Petrov-Galerkin枠組みに統合することで、元の有向ネットワークのトポロジーを保ちつつ、有界な近似誤差を保証する低次元モデルを生成する。数値結果により、低次元化されたモデルでも高い精度が得られることを示している。

ABSTRACT

This paper investigates a model reduction problem for linear directed network systems, in which the interconnections among the vertices are described by general weakly connected digraphs. First, the definitions of pseudo controllability and observability Gramians are proposed for semistable systems, and their solutions are characterized by Lyapunov-like equations. Then, we introduce a concept of vertex clusterability to guarantee the boundedness of the approximation error and use the newly proposed Gramians to facilitate the evaluation of the dissimilarity of each pair of vertices. An clustering algorithm is thereto provided to generate an appropriate graph clustering, whose characteristic matrix is employed as the projections in the Petrov-Galerkin reduction framework. The obtained reduced-order system preserves the weakly connected directed network structure, and the approximation error is computed by the pseudo Gramians. Finally, the efficiency of the proposed approach is illustrated by numerical examples.

研究の動機と目的

• 弱く結合された有向ネットワーク系に対する構造を保全するモデル低減手法の不足に応えること。このような系は、生化学的・生態的・工学的システムに一般的に見られる。
• 頂点クラスタビリティの概念を導入することで、頂点の集約に伴う近似誤差が有界であることを保証するクラスタリング戦略を開発すること。
• 半安定系のリャプノフ型方程式から導出される擬似グラミアンを用いて、頂点間の類似度を定量化すること。
• Petrov-Galerkin枠組みにおけるグラフクラスタリングから導かれる射影を用いることで、低次元モデルにおける有向ネットワーク構造の保存を図ること。
• 本手法の効率性と精度を、大規模な有向ネットワーク、特に先行手法が失敗する非強連結例を含むものについて実証すること。

提案手法

• 半安定系における擬似可制御性および可観測性グラミアンを定義し、リャプノフ型方程式の解を用いて定義する。
• モデル低減における有界な近似誤差を保証するための条件として、頂点クラスタビリティを定義する。
• 擬似グラミアンを用いて、頂点間のペアワイズ類似度を計算し、動的挙動の違いを定量化する。
• 類似度に基づくグラフクラスタリングアルゴリズムを適用して頂点をクラスタに分類し、そのクラスタリングの特性行列を射影行列として用いる。
• これらの射影を用いてPetrov-Galerkin枠組みを適用し、元の有向ネットワークのラプラシアン構造を保つ低次元モデルを導出する。
• 性能評価のため、定理8を用いて$η_2$-ノルム近似誤差を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く結合された有向ネットワーク系に対して、ネットワーク構造を保ちながらどのようにモデル低減を実行できるか？
• RQ2 有向ネットワーク系における頂点の集約において、近似誤差が有界であることを保証する基準は何か？
• RQ3 半安定ダイナミクスを示す有向ネットワークにおいて、頂点の類似度はどのように定量化できるか？
• RQ4 半安定系の擬似グラミアンは、モデル低減におけるグラフクラスタリングを誘導するために効果的に使用できるか？
• RQ5 入力のみに基づく類似度またはランダムクラスタリングと比較して、本手法の近似精度はどのように異なるか？

主な発見

• 弱く結合された735頂点の有向ネットワークの100頂点低次元モデルに対して、$η_2$-ノルム近似誤差が0.0011に達し、高い精度を示している。
• 低次元化の程度が高くなるにつれて近似誤差が急速に減少し、本手法および入力のみに基づく類似度に基づく手法が、ランダムクラスタリングを著しく上回っている。
• 計算時間の大部分（538.09秒）が擬似グラミアンのリャプノフ方程式の解法に費やされており、クラスタリングおよび類似度計算ははるかに速い。
• 本手法は非強連結ネットワークに対しても有効であり、Frobenius固有ベクトルに依存する先行手法が失敗する状況でも、Harwell-Boeing行列の例でその有効性が示された。
• 図7に示すように、低次元モデルは有向ネットワーク構造を保っている。特に、低次元系のラプラシアン行列は元のトポロジーを反映している。
• 標準的なソルバを用いることで、大規模ネットワークに対しても計算が可能であるが、さらに大きなシステムにはADIまたはKrylov法を用いることができる。